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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Wir betrachten auf [mm] [-\pi,\pi) [/mm] die FUnktion [mm] f:[-\pi,\pi)\to\IR, f(x)=\pi-|x| [/mm] sowie die Stützstellen [mm] x_k=-\pi+\bruch{2\pi k}{4}, $0\le [/mm] k<4$.
b) Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm] \beta_k [/mm] des trigonometrischen Polynoms [mm] \overline{p}(x), [/mm]
[mm]\overline{p}(x)=\summe_{k=0}^2\beta_k\exp(ikx)[/mm]
dass unter allen anderen trigonometrischen Polynomen der Form [mm] q(x)=\summe_{k=0}^2\zeta_k\exp(ikx), \zeta_k\in\IR, [/mm] das quadratische Funktional
[mm]S(q)=\summe_{k=0}^4|f(x_k)-q(x_k)|^2[/mm]
minimiert. |
Hallo und guten Abend!
Irgendwie fehlt mir zu obiger Aufgabe völlig der Ansatz. Mag sein, dass es an der späten Uhrzeit liegt, aber könnte mir vielleicht trotzdem jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Fr 28.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Bastiane,
schau mal zum Beispiel in den Bronstein unter "numerische Harmonische Analyse". Wenn ich mich nicht mit der Norm vertue, dann findest Du die Koeffizienten in meinem Beitrag zum Autoreifen im Schulmathematik Forum.
Den Nachweis der Minimalität habe ich derzeit nicht.
Gruß, ChrisNo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Sa 29.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Bastiane,
entschuldige, da habe ich nicht genau genug gelesen.
f wird nur an vier Stellen [mm] x_k [/mm] benötigt.
Wenn ich mir die Symmetrien anschaue, dann bleibt aus dem $ [mm] e^{ikx} [/mm] $ immer nur der Realteil übrig, denn f(x) hat die gleiche Symmetrie wie cos(x).
Nun sind die cos(kx) orthogonal zueinander. Daher müsste es, so vermute ich,
zulässig sein, die Minimierung für jedes $ [mm] \beta_k [/mm] $ einzeln durchzuführen.
Damit ist $ [mm] \beta_0 [/mm] $ der Mittelwert: [mm] \frac{\pi}{2} [/mm]
Für cos(x) und cos(2x) mache ich das nicht im Kopf. Es sollten aber die entsprechenden Fourierkoeffizienten herauskommen, eben wegen der Orthogonalität.
Ich bin mir nicht so sicher, ob das so gut ist, aber so würde ich erst mal anpacken.
Grüße, ChrisNo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Sa 29.04.2006 | | Autor: | chrisno |
nochmal Hallo,
aber trifft nicht [mm] \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \cos(x)[/mm] alle [mm] $x_k$?
[/mm]
Dann ist S(q) = 0 und damit minimal.
Da habe ich vergessen, dass ja der sin immer mit dabei ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 So 30.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Bastiane,
ich habe mich immer von der Bezeichnung trigonometrisch in die Irre führen lassen.
Rechne doch mal s(q) aus. Alle sin und cos ergeben +1, -1, 0. Damit stehen in S(q) nur noch Ausdrücke mit [mm] $\zeta_0, \zeta_1, \zeta_2$ [/mm] und $ [mm] \pi [/mm] $. Die lassen sich partiell nach den [mm] $\zeta_i$ [/mm] ableiten. Die zu Null gesetzt ergibt: [mm]\zeta_0 = \frac{\pi}{2}, \zeta_1 = \frac{\pi}{4}, \zeta_2$ = 0[/mm].
Zum Abschluß mußt Du noch zeigen, dass ein hinreichdes Kriterium (Hesse-Matrix für diese Werte positiv definit?) erfüllt ist.
Grüße, ChrisNo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ChrisNo!
Vielen Dank für deine weiteren Antworten. Ich bin jetzt mal nach diesem Vorschlag hier vorgegangen:
> Rechne doch mal s(q) aus. Alle sin und cos ergeben +1, -1,
> 0. Damit stehen in S(q) nur noch Ausdrücke mit [mm]\zeta_0, \zeta_1, \zeta_2[/mm]
> und [mm]\pi [/mm]. Die lassen sich partiell nach den [mm]\zeta_i[/mm]
Also, ich poste mal meine "Zwischenergebnisse", denn bei der einen Ableitung bekomme ich etwas komisches raus, also muss wohl irgendwo ein Fehler sein. Wäre schön, wenn du ihn finden würdest. 
[mm] x_0=-\pi
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f(x_0)=0
[/mm]
[mm] f(x_1)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f(x_2)=\pi
[/mm]
[mm] f(x_3)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Ich hoffe, dass hier ist noch richtig, denn damit habe ich auch Teil a) berechnet, das Ergebnis davon sah allerdings ganz gut aus. 
[mm] q(x_0)=\zeta_0-\zeta_1+\zeta_2
[/mm]
[mm] q(x_1)=\zeta_0-i\zeta_1-\zeta_2
[/mm]
[mm] q(x_2)=\zeta_0+\zeta_1+\zeta_2
[/mm]
[mm] q(x_3)=\zeta_0+i\zeta_1-\zeta_2
[/mm]
Dann erhalte ich für S(q):
[mm] S(q)=4\zeta_0^2+4\zeta_2^2+\bruch{3}{2}\pi^2-4\pi\zeta_0-2\pi\zeta_1
[/mm]
Das letzte habe ich meinen Computer rechnen lassen, da dürfte eigentlich höchstens ein Eingabefehler von mir vorliegen, aber das habe ich auch eigentlich nochmal kontrolliert.
Jedenfalls erhalte ich dann für die Ableitung nach [mm] \zeta_1:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial{S}}{\partial{\zeta_1}}=-2\pi
[/mm]
und das kann ja gar nicht =0 werden... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ableiten. Die zu Null gesetzt ergibt: [mm]\zeta_0 = \frac{\pi}{2}, \zeta_1 = \frac{\pi}{4}, \zeta_2$ = 0[/mm].
Und die [mm] \beta_k [/mm] sind jetzt einfach diese [mm] \zeta_k, [/mm] ja?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 01.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Bastiane
Die einzelnen Terme von S(q)
[mm]k = 0: (\zeta_0 - \zeta_1 + \zeta_2)^2 [/mm]
[mm]k = 1: (\zeta_0 - \zeta_2 - \frac{\pi}{2})^2 + \zeta_1^2 [/mm]
[mm]k = 2: (\zeta_0 + \zeta_1 + \zeta_2 - \pi)^2 [/mm]
[mm]k = 3: (\zeta_0 - \zeta_2 - \frac{\pi}{2})^2 + \zeta_1^2 [/mm]
Die habe ich direkt abgeleitet.
Wenn ich mit Deinem S(q) vergleiche, dann sind $4 [mm] \zeta_1^2 [/mm] $ unter den Tisch gefallen.
Da vermute ich, dass der Betrag einer komplexen Zahl nicht richtig berechnet wurde.
Ich bin mir sehr sicher, dass mein Ergebnis stimmt, da ich die [mm] $b_i$ [/mm] vorher schon aus meinen Orthogonalitätsüberlegungen bestimmt hatte. Um die Korrektur zu [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \pi/4$ [/mm] abzusichern, habe ich das mit den partiellen Ableitungen gemacht.
Die partiellen Ableitungen:
$8 [mm] \zeta_0 [/mm] - 4 [mm] \pi$
[/mm]
$8 [mm] \zeta_1 [/mm] - 2 [mm] \pi$
[/mm]
$8 [mm] \zeta_3 [/mm] $
Die [mm] $b_i [/mm] $ sind die [mm] $\zeta_i$ [/mm] für die S(q) minimal wird, ja. Du sollst sie finden und beweisen, warum dem so ist.
Falls ihr den Begriff der konvexen Funktion habt, dann
kannst Du als hinreichendes Kriterium auch die Konvexität von S(q) zeigen.
Grüße, ChrisNo
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
