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Hallo Leute!
Ich habe Probleme für folgende Aufgabe einen Ansatz zu finden:
Seien $2n+1$ Stützstellen [mm] $x_k \in \mathbb{R}$ [/mm] der Form $a [mm] \le x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] \dotsb [/mm] < [mm] x_{2n-1} [/mm] < [mm] x_{2n} [/mm] < a + [mm] 2\pi$, [/mm] $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] sowie $2n+1$ komplexe Zahlen [mm] $y_0,y_1,\dotsc,y_{2n-1},y_{2n}$ [/mm] gegeben.
(i) Zeige: Es existiert ein eindeutig bestimmtes trigonometrisches Polynom
[mm]T\left(x\right) := \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^{n}{\left(a_j\cos\left(jx\right) + b_j\sin\left(jx\right)\right)}[/mm]
mit
[mm]T\left(x_k\right) = y_k[/mm] für $k = [mm] 0,1,\dotsc,2n$.
[/mm]
Tip: Forme um: [mm]T\left(x\right) = \sum_{j=-n}^{n}{c_je^{ijx}}[/mm] mit [mm] $c_j \in \mathbb{C}$.
[/mm]
Das Einzige, was ich zum Tip im Netz finden konnte, ist folgende Gleichungskette:
[mm]\frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^{n}{\left(a_j\cos\left(jx\right) + b_j\sin\left(jx\right)\right)} = \frac{1}{2}\left(a_0 + \sum_{j=1}^{n}{\left(\left(a_j - ib_j\right)e^{ijx} + \left(a_j + ib_j\right)e^{-ijx}\right)}\right) = \sum_{j=-n}^{n}{c_je^{ijx}}[/mm]
Leider verstehe ich beide Umformungsschritte nicht. Was geschieht da im Detail? Und wie muß ich dann anschließend weitermachen, um die Eindeutigkeit zu zeigen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Mittels
[mm]e^{ix}=\cos x +i\sin x[/mm]
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x)
solltest Du die Gleichheit auch zeigen können.
Ansonsten wird sicher die Interpolationsbed. [mm] T(x_k)=y_k [/mm] gelten.
Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für die [mm] c_k
[/mm]
[mm]\vektor{y_0\\ \vdots \\y_{2n}}=A\vektor{c_{-jn}\\ \vdots \\c_{jn}}[/mm]
Die Frage wäre nun z.B. ob A invertierbar ist und somit die [mm] c_k [/mm] eindeutig bestimmt. So würd ich anfangen.
Vielleicht gibt's aber auch einen schönen Trick der mir gerade nicht einfällt. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Karl,
Die Einträge von A sollten sein
[mm] (A)_{lk}=e^{ilx_k}
[/mm]
Dann ist
[mm] y_0=T(x_0)=\sum_{l=-n}^{n}{c_je^{ilx_0}}
[/mm]
Aber irgendwie weiß ich gerade auch nicht weiter ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Fr 23.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Karl_Pech
Es gelten die sogenannten Euler-Relationen:
[mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] und daraus wegen [mm] $\sin(-x)=-\sin(x)$
[/mm]
[mm] $e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $c_j e^{ijx}+c_{-j}e^{-ijx}= \underbrace{(c_j+c_{-j})}_{a_j}\cos(jx)+\underbrace{i(c_j-c_{-j})}_{b_j}\sin(jx)$
[/mm]
Umgekehrt nach [mm] $c_j$ [/mm] und [mm] $c_{-j}$ [/mm] aufgelöst
[mm] $c_j=\frac [/mm] 12 [mm] (a_j-ib_{j})$ [/mm] und [mm] $c_{-j}=\frac 12(a_j+ib_{j})$.
[/mm]
A propos [mm] $c_0=\frac [/mm] 12 [mm] a_0$.
[/mm]
Die Rechnung zeigt, dass man die trigonometrische Reihe
[mm] $T(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{j=0}^{n}a_j\cos(jx)+b_j\sin(jx)$
[/mm]
umschreiben kann auf
[mm] $T(x)=\sum\limits_{j=-n}^{n}c_j e^{ijx}.$
[/mm]
Es existieren genau dann eindeutige [mm] $a_j\quad (0\leq j\leq [/mm] n)$, [mm] $b_j\quad (1\leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n)$, wenn es eindeutig definierte [mm] $c_j\quad (-n\leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n)$ gibt.
Setzt man die Bedingunen [mm] $T(x_k)=y_k$ [/mm] ein, so ergibt sich für die Koeffizienten [mm] $c_j$ [/mm] das Gleichungssystem (wobei ich [mm] $z_k=e^{ix_k}$ [/mm] gesetzt habe):
[mm] $z_0^{-n}c_{-n}+z_0^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_0^nc_n=y_0$
[/mm]
[mm] $z_1^{-n}c_{-n}+z_1^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_1^nc_n=y_1$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $z_{2n}^{-n}c_{-n}+z_{2n}^{-n+1}c_{-n+1}+\dots+z_{2n}^n c_n=y_{2n}$
[/mm]
Dieses Gleichungsystem ist regulär, wenn die Koeffizientenmatrix
[mm] $\vmat{ z_0^{-n} & z_0^{-n+1} & \dots & z_0^n\\ z_1^{-n} & z_1^{-n+1}& \dots & z_1^n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ z_{2n}^{-n} & z_{2n}^{-n+1} & \dots & z_{2n}^n}$
[/mm]
regulär ist. Diese ist aber regulär, wenn die [mm] $z_k$ [/mm] paarweise verschieden sind, was durch die Bedingung an die [mm] $x_k$ [/mm] garantiert ist. Im wesentlichen ist die Koeffizientenmatrix eine Vandermondsche Matrix.
Eine Vandermondsche Matrix ist eine Matrix der Form
[mm] $\vmat{ 1 & z_0 & z_0^2 & \dots & z_0^n \\ 1 & z_1 & z_1^2 & \dots & z_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & z_n & z_n^2 & \dots & z_n^n }$
[/mm]
Diese Matrix besitzt die Determinante [mm] $\pm\prod\limits_{0\leq i
Die Regularität der Koeffizientenmatrix, kann man aus der Regularität der Vandermondschen Matrix herleiten.
mfG Moudi
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