u. a. Vollständige Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass die Folge
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1-2n}{3n}$ [/mm] ; n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}
konvergent ist. |
Die Definition im Buch ist: "Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann ist sie auch konvergent."
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] ; [mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] ; [mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{-5}{9}
[/mm]
Monotonie:
[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}= \bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)}-\bruch{1-2n}{3n}=\bruch{-3}{(3n+3)*3n} [/mm] < 0$
[mm] \Rightarrow a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] ; d. h., [mm] a_{n} [/mm] ist streng monoton fallend.
obere Schranke:
zu zeigen: [mm] a_{n} \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
I.A. n = 1 [mm] -\bruch{1}{3} \le -\bruch{1}{3} [/mm] ist erfüllt
I.V. [mm] \bruch{1-2n}{3n} \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
I.S. [mm] \bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)} \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1-2n}{3n} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(3n+3)*3n} \le -\bruch{1}{3} [/mm] nach I.V.
untere Schranke:
zu zeigen: [mm] a_{n} \ge -\bruch{2}{3}
[/mm]
I.A. n = 1 [mm] -\bruch{1}{3} \ge -\bruch{2}{3} [/mm] ist erfüllt
I.V. [mm] \bruch{1-2n}{3n} \ge -\bruch{2}{3}
[/mm]
I.S. [mm] \bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)} \ge -\bruch{2}{3}
[/mm]
1-2(n+1) [mm] \ge [/mm] -2*(n+1)
-1-2n [mm] \ge [/mm] -2-2n
-1 [mm] \ge [/mm] -2 ist richtig
Geht das so ?
Danke für's Drüberschauen.
LG, Martinius
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Do 25.10.2007 | | Autor: | chrisno |
>
> Monotonie:
>
> [mm]a_{n+1} - a_{n}= \bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)}-\bruch{1-2n}{3n}=\bruch{-3}{(3n+3)*3n} < 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{n+1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm] ; d. h., [mm]a_{n}[/mm] ist streng
> monoton fallend.
>
finde ich in Ordnung
>
> obere Schranke:
>
> zu zeigen: [mm]a_{n} \le -\bruch{1}{3}[/mm]
Warum? Du hast gerade gezeigt, dass sie streng monoton fallend ist. Jedes Glied ist also kleiner als der Vorgänger. Damit ist das erste Glied eine obere Schranke.
>
> I.A. n = 1 [mm]-\bruch{1}{3} \le -\bruch{1}{3}[/mm] ist
> erfüllt
>
> I.V. [mm]\bruch{1-2n}{3n} \le -\bruch{1}{3}[/mm]
>
> I.S. [mm]\bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)} \le -\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-2n}{3n}[/mm] - [mm]\bruch{3}{(3n+3)*3n} \le -\bruch{1}{3}[/mm]
> nach I.V.
Das verstehe ich nicht. Wie kommt da die I.V. rein. Auch wenn es nicht nötig ist, schreib das mal ausführlicher hin.
>
>
>
>
> untere Schranke:
>
> zu zeigen: [mm]a_{n} \ge -\bruch{2}{3}[/mm]
>
> I.A. n = 1 [mm]-\bruch{1}{3} \ge -\bruch{2}{3}[/mm] ist
> erfüllt
>
> I.V. [mm]\bruch{1-2n}{3n} \ge -\bruch{2}{3}[/mm]
>
> I.S. [mm]\bruch{1-2(n+1)}{3(n+1)} \ge -\bruch{2}{3}[/mm]
>
> 1-2(n+1) [mm]\ge[/mm] -2*(n+1)
>
> -1-2n [mm]\ge[/mm] -2-2n
>
> -1 [mm]\ge[/mm] -2 ist richtig
>
>
> Geht das so ?
>
Na ja, schau Dir mal Deinen I.S. an. Du benötigst weder I.A. noch I.V.. Also ist gar kein Induktionsbeweis erforderlich. Du kannst das was unter I.S. steht einfach so hinschreiben.
|
|
|
|
