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| Aufgabe | Zum Test der Bauchspeicheldrüse wird in diese 0,2 g eines Farbstoffs gespritzt und dessen Ausscheidung gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse scheidet in jeder Minute 4 % des noch vorhandenen Farbstoffes aus. Dabei sei [mm] f_{n} [/mm] der nach n Minuten noch vorhandene Farbstoff (in g) in der Bauchspeicheldrüse.
a) Geben Sie eine explizite und eine rekursive Darstellung
der Folge [mm] (f_{n}) [/mm] an.
b) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] streng monoton fällt
und nach unten beschränkt ist. |
Hallo,
bei der Aufgabe b) bin ich heute nachmittag, als meine Nachhilfeschülerin da war, ganz schön ins Schwimmen geraten (weil ich noch nicht vorbereitet gewesen war).
Bevor ich ihr jetzt einen Brief mit meiner Korrektur schicke, frag ich mal hier ob's soweit stimmt.
a) explizite Darstellung:
[mm] $f_{n} [/mm] = 0,2 g * [mm] (1-0,04)^{n}$
[/mm]
rekursive Darstellung:
[mm] $a_{(n+1)} [/mm] = [mm] a_{(n)}*0,96$
[/mm]
b) Monotonie:
[mm] $f_{n} [/mm] = 0,2 * [mm] 0,96^{n}$
[/mm]
[mm] $f_{n+1} [/mm] = 0,2 * [mm] 0,96^{n+1}$
[/mm]
Da $0,2 * [mm] 0,96^{n}$ [/mm] > $ 0,2 * [mm] 0,96^{n}*0,96$ [/mm] für alle
n [mm] \in \IN [/mm] ist, ist [mm] f_{n} [/mm] streng monoton fallend.
Nach unten beschränkt:
zu zeigen: $0,2 [mm] *0,96^{n} \ge [/mm] -0,1$
I.A. n = 1 $0,2 [mm] *0,96^{1} \ge [/mm] -0,1$ ist erfüllt
I.V. $0,2 [mm] *0,96^{n} \ge [/mm] -0,1$
I.S. $0,2 [mm] *0,96^{n+1} \ge [/mm] -0,1$
Division von I.V. durch I.S.
[mm] $0,96^{-1} \ge [/mm] 1$
1,0417 [mm] \ge [/mm] 1 q.e.d. ?
Geht das so ?
Vielen Dank fürs Drüberschauen.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martinius!
> rekursive Darstellung:
> [mm]a_{(n+1)} = a_{(n)}*0,96[/mm]
Zu einer rekursiven Darstellung gehört auch immer ein Startwert.
Also z.B. hier [mm] $a_0 [/mm] \ = \ 0.2 \ [mm] \text{g}$ [/mm] .
> b) Monotonie:
>
> [mm]f_{n} = 0,2 * 0,96^{n}[/mm]
> [mm]f_{n+1} = 0,2 * 0,96^{n+1}[/mm]
> Da [mm]0,2 * 0,96^{n}[/mm] > [mm]0,2 * 0,96^{n}*0,96[/mm] für alle
>
> n [mm]\in \IN[/mm] ist, ist [mm]f_{n}[/mm] streng monoton fallend.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alternativ hättest Du auch zeigen können, dass gilt: [mm] $\bruch{f_{n+1}}{f_n} [/mm] \ < \ 1$ .
> Nach unten beschränkt:
> I.S. [mm]0,2 *0,96^{n+1} \ge -0,1[/mm]
>
> Division von I.V. durch I.S.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das geht nicht. Du kannst eine (Un-)Gleichung nicht auf beiden Seiten durch etwas jeweils Unterschiedliches Teilen. Das ist keine Äquivalenzumformung.
Aber schätzen wir mal wie folgt ab:
[mm] $$0.2*0.96^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 0.2*0.96^n*0.96^1 [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\blue{0.2*0.96^n}}_{\ge-0.1 \ \text{gemäß I.V.}}* [/mm] \ 0.96 \ [mm] \blue{\ge \ -0.1}*0.96 [/mm] \ = \ -0.096 \ [mm] \ge [/mm] \ -0.1$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 19.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Folge ist doch durch 0 nach unten beschränkt, da braucht man keine Induktion. Das Produkt positiver Zahlen ist immer positiv. Ende.
Gruss leduart.
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Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Abschätzung. Ich mach so was zu ersten Mal, daher meine Schwierigkeiten.
Eine Frage hätte ich noch zur Vollst. Induktion, bzgl. der Multiplikation mit oder Division durch eine Ungleichung. Ich hatte da folgendes Beispiel im Netz gefunden:
zu zeigen: [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 5
I.A. n = 5 [mm] 2^{5} [/mm] = 32 > [mm] 5^{2} [/mm] = 25 ist erfüllt
I.V. [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2}
[/mm]
Wir multiplizieren die Ungleichung mit der für n [mm] \ge [/mm] 5 sicher richtigen Ungleichung
2 > [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{n^{2}}
[/mm]
und erhalten
I.S [mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^{2} [/mm] q.e.d
Hier ist die Multiplikation mit einer Ungleichung doch auch keine Äquivalenzumformung ?
Hallo leduart,
in dem Mathematikbuch meiner Nachhilfeschülerin steht:
"Zum Nachweis der Monotonie und Beschränktheit einer Folge in rekursiver Darstellung benötigt man das Beweisverfahren der vollständigen Induktion."
Hatte ich hier "rekursive Darstellung" überlesen ?
LG, Martinius
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> zu zeigen: [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm]
> 5
>
> I.A. n = 5 [mm]2^{5}[/mm] = 32 > [mm]5^{2}[/mm] = 25 ist erfüllt
>
> I.V. [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm]
>
> Wir multiplizieren die Ungleichung mit der für n [mm]\ge[/mm] 5
> sicher richtigen Ungleichung
>
> 2 > [mm]\bruch{(n+1)^{2}}{n^{2}}[/mm]
>
> und erhalten
>
> I.S [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^{2}[/mm] q.e.d
>
>
> Hier ist die Multiplikation mit einer Ungleichung doch auch
> keine Äquivalenzumformung ?
Hallo,
äquivalent nicht, aber es folgt richtig aus den beiden verwendeten Ungleichung.
Bei Deinem Weg gab es gleich zwei Probleme: Du hast dividiert, da muß man es etwas nachdenken, aber dann war auch noch die eine Zahl, durch die Du dividiert hast negativ.
Spiel mal ein bißchen mit diesen Ungleichungen:
6>-1
12>-1
oder auch
6>1
12>1.
> "Zum Nachweis der Monotonie und Beschränktheit einer Folge
> in rekursiver Darstellung benötigt man das Beweisverfahren
> der vollständigen Induktion."
"Rekursiv" spielt hier eine Rolle, wobei man die Induktion auch bei nichtrekursiven Folgen verwenden kann, das hat Loddar ja gezeigt - auch wenn's in dem Fall nicht der schnellste Weg war.
Mit der rekursiven Def. geht's hier blitzschnell: Beh: [mm] a_n>0
[/mm]
I.A. n=0
Es ist [mm] a_0=0.2>0
[/mm]
I.V. es gelte [mm] a_n>0 [/mm] für alle n
I.S.
Es ist [mm] a_{n+1}=a_n*0.96>0*0.96=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für deine Spielzeuge!
Also wenn (I) 6 > -1
(II) 12 > -1
Dann sind Addition und Multiplikation beider Ungleichungen in Ordnung. Nur Subtraktion und Division werden zur Hälfte falsch:
I - IÍ -6 > 0
I / II [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 1
Woran liegt es ?
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
1. wenn man eine Ungleichung durch ne negative Zahl teilt, dreht sich ihr vorzeichen um!
2. wenn man 2 gleich Zahlen mal durch ne größere teilt, wird sie kleiner als wenn man sie durch ne kleinere teilt.
kurz, Ungleichungen kann man nicht einfach dividieren, warumm sollte dss denn richtig sein.
Damit ne ungleichung erhalten bleibt, musst du doch immer argumentieren dass du die kleinere Seite verkleinerst, die größere vergrösserst. oder beide Seiten gleich stark veränderst.
des halb kannst du sie auch nicht subtrahieren!
aus 1<2
100<200
Gruss leduart
folgt NICHT -99<-198
Gruss leduart
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