Überführung in eine geom. Folg < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überführe die Zahl x = [mm] 1,\overline{49} [/mm] ‚ in eine unendliche geometrische Reihe und gewinne die rationale Zahl für x!
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Moin, ich weiss, bin heute dabei, viele "dumme" Fragen zu stellen (da kommen garantiert noch mehr ;) ) aber ich schreibe Vorabi klausur nach ;)
Das Problem ist halt, dass ich für die Aufgabe keine Lösungen habe und mir nicht immer mit dem Ansatz sicher bin.
x setzt sich dann ja quasi zusammen aus:
1 + [mm] \bruch{49}{100}+\bruch{49}{100²} +\bruch{49}{100^{3}}+...
[/mm]
dies müsste ich dann ja zusammenfassen (zumindest nach meinem Lehrbuch, allerdings habe ich hier nur das Beispiel [mm] 0,\overline{7})
[/mm]
[mm] 1+\bruch{49}{100}*(\bruch{1}{100} [/mm] + [mm] \bruch{1}{100²} [/mm] + [mm] \bruch{1}{100^3}+...)
[/mm]
Wenn ich mich am Beispiel aus dem Buch orientiere, dann müsste ich an dieser Stelle wie folgt weiterrechnen:
1+ [mm] (\bruch{49}{100}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{100}}=1 [/mm] + [mm] \bruch{49}{99}= \bruch{148}{99} [/mm] --> Dies müsste demnach ja die rationale Zahl für x sein oder habe ich irgendeinen grundlegenden Fehler gemacht?
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Hallo dxlegends,
Irgendwie geht das, was du da rechnest, in die richtige Richtung. Ich denke, es ist am besten, ich rechne es mal vor und du gleichst es mit deiner Rechnung ab.
In der Aufgabe wird ja schon die geometrische Reihe erwähnt:
[mm]1.\overline{49}=1+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{49}{100^k}}=1+49\sum_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{100}\right)^k}=1+\frac{49}{100}\sum_{k=\textcolor{red}{0}}^{\infty}{\left(\frac{1}{100}\right)^k}=1+\frac{49}{100}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{150-2}{99}.[/mm]
Mir scheint, du hast bis auf einige falsch gesetzte Potenzen bei einigen Zwischenschritten richtig gerechnet.
Viele Grüße
Karl
[P.S. Siehe dir dazu auch folgende Diskussion an.]
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