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| Aufgabe | Eine ganzrationale Funktion f ist so zu bestimmen, dass ihr Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden bildet. Der Grad von f soll möglichst klein sein.
a) Der Graph von f soll an den Anschlußstellen keinen "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch und bestimme f(x).
b) f soll an den Anschlußstellen in der ersten und der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimme f(x).
c) Zeichne die Funktionsgraphen aus a) und b) mithilfe eines graphikfähigen Rechners.
d) Stelle dir vor, die Halbgeraden beschreiben Straßen. Warum ist die Lösung von b) sinnvoller als Übergangsbogen als die Lösung von a)?
(Hinweis: Stelle dir vor, du fährst die Linien mit einem Fahrrad ab.) |
Hallo,
ich habe da eine Frage zum Verständnis.
[mm] g(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } 3 \le x \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
mit den Bedingungen:
f(1)=2 ; f(3)=4 ; f'(1)=1 ; f'(3)=0
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
erhalte ich
[mm] f(x)=-\bruch{1}{4}x^3+\bruch{5}{4}x^2-\bruch{3}{4}x+1,75
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu Aufgabe b) habe ich eine Frage.
Die 2. Ableitungen von g(x)sind doch an den Anschlußstellen jeweils 0. Oder ist das Unsinn?
Wenn ich davon ausgehe, dann hätte ich ja die Bedingungen:
f(1)=2 ; f(3)=4 ; f'(1)=1 ; f'(3)=0 ; f''(1)=0 ;
f''(3)=0
und mit [mm] f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+d
[/mm]
ein Polynom 5. Grades. Wenn ich das ausrechne kommen aber keine sinnvollen Anschlußstellen heraus.
Wie ist die Vorgabe in Aufgabe b) gemeint?
Vielen Dank für eine Antwort.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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Hallo Martinius,
> Eine ganzrationale Funktion f ist so zu bestimmen, dass ihr
> Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden
> bildet. Der Grad von f soll möglichst klein sein.
>
> a) Der Graph von f soll an den Anschlußstellen keinen
> "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch
> und bestimme f(x).
>
> b) f soll an den Anschlußstellen in der ersten und der
> zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen.
> Bestimme f(x).
>
> c) Zeichne die Funktionsgraphen aus a) und b) mithilfe
> eines graphikfähigen Rechners.
>
> d) Stelle dir vor, die Halbgeraden beschreiben Straßen.
> Warum ist die Lösung von b) sinnvoller als Übergangsbogen
> als die Lösung von a)?
> (Hinweis: Stelle dir vor, du fährst die Linien mit einem
> Fahrrad ab.)
> Hallo,
>
> ich habe da eine Frage zum Verständnis.
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } 3 \le x \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> mit den Bedingungen:
>
> f(1)=2 ; f(3)=4 ; f'(1)=1 ; f'(3)=0
Die gegebenen Stützstellen sind hier:
[mm]f\left(1\right)=2; \ f\left(3\right)=1; \ f'\left(1\right)=1; \ f'\left(3\right)=0[/mm]
>
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>
> erhalte ich
>
> [mm]f(x)=-\bruch{1}{4}x^3+\bruch{5}{4}x^2-\bruch{3}{4}x+1,75[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zu Aufgabe b) habe ich eine Frage.
>
> Die 2. Ableitungen von g(x)sind doch an den
> Anschlußstellen jeweils 0. Oder ist das Unsinn?
>
Nein, das ist kein Unsinn.
>
> Wenn ich davon ausgehe, dann hätte ich ja die
> Bedingungen:
>
> f(1)=2 ; f(3)=4 ; f'(1)=1 ; f'(3)=0 ; f''(1)=0 ;
>
> f''(3)=0
Auch hier lauten die Stützstellen:
[mm]f\left(1\right)=2; \ f\left(3\right)=1; \ f'\left(1\right)=1; \ f'\left(3\right)=0;\ f''\left(1\right)=0;\ f'\left(3\right)=0[/mm]
>
> und mit [mm]f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+d[/mm]
>
> ein Polynom 5. Grades. Wenn ich das ausrechne kommen aber
> keine sinnvollen Anschlußstellen heraus.
Sowohl bei a) als auch bei b) kommt etwas sinnvolles heraus.
>
> Wie ist die Vorgabe in Aufgabe b) gemeint?
>
> Vielen Dank für eine Antwort.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine Antwort.
Dann habe ich mich wohl verrechnet. Ich setz' mich morgen noch mal dran.
LG, Martin
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