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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Di 17.01.2012 | | Autor: | Seb12 |
| Aufgabe | Sei C die kanonische Basis des [mm] R^2. [/mm] Bestimmen Sie die Übergangsmatrix MBC(idR2) und mit ihrer Hilfe die Matrix MBB(F) der linearen Abbildung [mm] F:R^2->R^2, \pmat{ a \\ b } [/mm] -> [mm] \pmat{ a+2b \\ 3a-b } [/mm] für
a) B = [mm] \pmat{ -1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 1 }
[/mm]
b) B = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ 4 } [/mm] |
Hallo,
Wie komme ich denn hier erst einmal an meine Übergangsmatrix ?
lg
Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei C die kanonische Basis des [mm]R^2.[/mm] Bestimmen Sie die
> Übergangsmatrix MBC(idR2) und mit ihrer Hilfe die Matrix
> MBB(F) der linearen Abbildung [mm]F:R^2->R^2, \pmat{ a \\ b }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ a+2b \\ 3a-b }[/mm] für
> a) B = [mm]\pmat{ -1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 1 }[/mm]
> b) B = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ 4 }[/mm]
>
> Hallo,
> Wie komme ich denn hier erst einmal an meine
> Übergangsmatrix ?
>
Schau Dir das mal an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)
FRED
>
> lg
> Seb
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 17.01.2012 | | Autor: | Seb12 |
Also die kanonische Basis I'm [mm] R^2 [/mm] ist ja nun
((1,0),(0,1)).
Also wäre mein MCB = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und mein MBC welches ich durch invertieren erhalte ebenfalls da MCB ja schon in GaussForm ist.
Oder habe ich etwas übersehen bei diesem ersten Schritt ?
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> Also die kanonische Basis I'm [mm]R^2[/mm] ist ja nun
> ((1,0),(0,1)).
> Also wäre mein MCB = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] und mein MBC
> welches ich durch invertieren erhalte ebenfalls da MCB ja
> schon in GaussForm ist.
> Oder habe ich etwas übersehen bei diesem ersten Schritt ?
Hallo,
ja, alles...
Bevor hier noch irgendetwas geschieht, sollten wir erstmal feststellen, was mit MBC(idR2) (aus Deinem Eingangspost) gemeint ist.
Ich finde es ganz nebenbei bemerkt richtig ätzend, daß Du hierbei keine Indizes verwendest.
Ich gehe bis auf weiteres mal davon aus, daß [mm] MBC(id_{\IR^2}) [/mm] die Matrix ist, welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl C umwandelt.
Prüfe das unbedingt anhand Deiner Unterlagen! Solange das nicht ganz klar ist, sind Fehler vorprogrammiert.
Oder sollte es eigentlich [mm] M^B_C(id_{\IR^2}) [/mm] heißen? Dies wäre eine sehr übliche Schreibweise. Sie steht für die Matrix, die Vektoren bzgl B in solche bzgl. C verwandelt.
Diese Matrix aufzustellen ist sehr einfach, wenn C die kanonische Basis ist: in ihren Spalten stehen einfach die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C, also exakt so, wie sie Dir gegeben wurden.
Die Matrix [mm] M^C_B(id_{\IR^2}) [/mm] ist die Inverse von [mm] M^B_C(id_{\IR^2}).
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Seb12 |
Hallo,
srry, es sollte wirklich $ [mm] M^B_C(id_{\IR^2}) [/mm] $ heißen.
Bzgl des Aufgabenteils a ) wäre mein $ [mm] M^B_C(id_{\IR^2}) [/mm] $ ja nun [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] richtig ? Dann müsste ich davon ja nurnoch dessen Inverse mit der Abbildung $ [mm] M^E_E(F_{\F}) [/mm] $ Multiplizieren um $ [mm] M^B_B(F_{\F}) [/mm] $ zu erhalten oder ?
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> Hallo,
> srry, es sollte wirklich [mm]M^B_C(id_{\IR^2})[/mm] heißen.
> Bzgl des Aufgabenteils a ) wäre mein [mm]M^B_C(id_{\IR^2})[/mm]
> ja nun [mm]\pmat{ -1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] richtig ?
Hallo,
ja, genau.
> Dann müsste ich
> davon ja nurnoch dessen Inverse mit der Abbildung Matrix
> [mm]M^E_E(F_{\F})[/mm] Multiplizieren um [mm]M^B_B(F_{\F})[/mm] zu erhalten
> oder ?
Nicht ganz. (Nur zur Sicherheit: mit E meinst Du sicher C, die kanonische Basis.)
Es ist [mm] $M^B_C(F_{\F})$ =$M^B_B(F_{\F})$ *$M^C_B(F_{\F})$ *$M^B_B(F_{\F})$ [/mm] .
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Seb12 |
Ist $ [mm] M^C_C(F_{\)} [/mm] $ doch die Matrix die aus meiner Abbildung F [mm] \pmat{ a +2b \\ 3a -b } [/mm] hervorgeht ?
Also [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & -1 }
[/mm]
So hatte ich es mal in der Übung gemacht.
Aber welchen Einsatz bekommt hier denn die kanonische Basis (1,0) ,( 0,1 ) ?
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> Ist [mm]M^C_C(F_{\)}[/mm] doch die Matrix die aus meiner Abbildung F
> [mm]\pmat{ a +2b \\
3a -b }[/mm] hervorgeht ?
>
> Also [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & -1 }[/mm]
> So hatte ich es mal in der
> Übung gemacht.
Hallo,
ja, genau.
> Aber welchen Einsatz bekommt hier denn die kanonische
> Basis (1,0) ,( 0,1 ) ?
In den Spalten stehen die Bilder von [mm] e_1:=\vektor{1\\0} [/mm] und [mm] e_2=\vektor{0\\1}, [/mm] und zwar ganz normal bzgl der kanonischen Basis:
[mm] f(\vektor{1\\0})=\vektor{1\\3}, [/mm] und [mm] \vektor{1\\3} [/mm] bedeutet ja nichts anderes als [mm] 1*e_1+3*e_2.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 19.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Sei [mm]C[/mm] die canonische Basis des [mm]\IR^2[/mm]. Bestimmen Sie mit Hilfe von [mm]M^B_C (id \IR^2)=T[/mm] die Matrix [mm]M^B_B (F)[/mm] der linearen Abbildung [mm]F:\IR^2\to\IR^2,\pmat{a\\
b}\mapsto\pmat{a+2b\\
3a-b}[/mm] für
a.) [mm]B=(\pmat{-1\\
0},\pmat{0\\
1})[/mm]
Hallo,
mein Plan für diese Aufgabe sieht so aus: ich erstelle erstelle erstmal die Abb.matrix von F bezgl. den Basen B und C.
Also [mm]F\pmat{-1\\
0}=\pmat{1\\
3}, F\pmat{0\\
1}=\pmat{2\\
-1} [/mm] und somit [mm]M^B_C= \pmat{3 & -1\\
1 & 2}[/mm]=T.
Meine Frage ist ob das so richtig ist...? Habe ich das Erstellen einer Abbildungsmatrix richtig verstanden?
Danke und LG
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> Sei [mm]C[/mm] die canonische Basis des [mm]\IR^2[/mm]. Bestimmen Sie mit
> Hilfe von [mm]M^B_C (id \IR^2)=T[/mm] die Matrix [mm]M^B_B (F)[/mm] der
> linearen Abbildung [mm]F:\IR^2\to\IR^2,\pmat{a\\
b}\mapsto\pmat{a+2b\\
3a-b}[/mm]
> für
> a.) [mm]B=(\pmat{-1\\
0},\pmat{0\\
1})[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> mein Plan für diese Aufgabe sieht so aus: ich erstelle
> erstelle erstmal die Abb.matrix von F bezgl. den Basen B
> und C.
Hallo,
Du möchtest also [mm] M^B_C(F) [/mm] erstellen.
> Also [mm]F\pmat{-1\\
0}=\pmat{1\\
3}, F\pmat{0\\
1}=\pmat{2\\
-1} [/mm]
> und somit [mm]M^B_C= \pmat{3 & -1\\
1 & 2}[/mm]=T.
Du planst es richtig.
Der Funktionswert des ersten Vektors stimmt aber nicht.
Und in die Spalten der Matrix gehören die ausgerechneten Vektoren und nix Verdrehtes.
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> Meine Frage ist ob das so richtig ist...? Habe ich das
> Erstellen einer Abbildungsmatrix richtig verstanden?
Ja.
Du mußt bloß richtig rechnen und schreiben.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
[mm]M^C_B(id\IR^2)=\pmat{-1 & 0\\
0 & 1}
\Rightarrow M^C_B(F)=\pmat{-1 & 0\\
0 & 1}
F\pmat{1\\
0}=\pmat{1\\
3}, F\pmat{0\\
1}=\pmat{2\\
-1}\Rightarrow M^C_C=\pmat{1 & 2\\
3 & -1}
[/mm]
Da [mm]M^B_B=T^{-1}AT[/mm] und aus der Vor. folgt [mm]M^B_C=T[/mm]:
[mm]\pmat{ -1 & 0 \\
0 & 1 } \pmat{ 1 & 2 \\
3 & -1 } \pmat{ -1 & 0 \\
0 & 1 } = \pmat{ 1 & -2 \\
-3 & -1 } =M^B_B(F)[/mm]
Ich bitte um Korrektur, dankeschön!
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Hallo,
Dein Ergebnis stimmt.
LG Angela
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