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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Sa 28.10.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Ich fahre mit dem PKW 60 km/h. Mein Auto ist 5m lang. 30m vor dem LKW der auch 60km/h fährt allerdings immer mit konstanter Geschwindigkeit, schere ich aus und beschleunige mit [mm] 2m/s^{2}. [/mm] Mit 10m Abstand schere ich wieder vor dem LKW ein. Der LKW hat eine Länge von 15m.
Frage: Wie lange dauert der Überholvorgang? |
Ich habe mich schon zu Tode gerechnet, aber alles hat sich im Nachhinein als nicht richtig herausgestellt. Ich gebe hier mal meinen Lösungsweg und meine Ideen an.
Da es sich hier um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt nimmt man die ganz normalen Bewegungsgleichungen. Die 1. Frage, die ich mir stellen muss, ist doch wie weit der Überholweg ist. Ich kann dazu doch annehmen, das der LkW in Ruhe ist, denn woher soll ich ohne Zeit wissen, wie weit der LkW in dieser Zeit fährt und wie weit also insgesamt der ganze Überholweg ist. Also nehme ich an, von dem Kofferraum meines Autos angefangen, das ich also bis ich am Lkw mit 10m Abstand wieder einschere, der gesamte wohlgemerkt nur der Weg zum überholen, insgesamt 60m beträgt. Den gesamten Weg kann ich ja gar nicht ausrechnen, ohne Zeit.
Die Formel für den Vektor in Bewegungsrichtung lautet:
[mm] r(t)=v_{0}t+\bruch{1}{2}at^{2}
[/mm]
Da ich ja die Zeit des Überholvorganges berechnen muss, und ja die Entfernung in x-Richtung kenne, setze ich die Gleichung =0 und habe eine quadratische Gleichung, die ich mit Hilfe der Lösungsformel nach t umformen kann.
Dies sieht dann so aus:
[mm] v_{0}t+\bruch{1}{2}at^{2}-r_{x}(t)=0
[/mm]
nach t umgeformt mit der Formel ergibt das dann:
[mm] t_{1,2}=\bruch{-v_{0}\pm\wurzel{(v_{0})^{2}-4*0,5*a*(-r_{x}(t))}}{a}
[/mm]
Wenn ich nun all die bekannten Größen einsetze, komme ich auf eine Zeit von 3,045 Sekunden, die ich brauche um die 60m zurückzulegen.
Da der LKW aber ja auch in dieser Zeit einen Weg zurücklegt, ist dies natürlich nicht der ganze Weg, sondern ich muss für den gesamten Weg des Überholvorganges ja noch den Weg des LKW in dieser Zeit dazurechnen. Der Lkw würde in dieser Zeit eine Strecke von 50,76m zurücklegen, also müsste ich insgesamt eine Strecke von 60m+50,76m=110,76m zurücklegen. Für dieses Strecke allerdings brauche ich doch dann länger als wie die errechneten 3,045 Sekunden??? Es kann doch nicht sein, das ich erst eine Teilaufgabe berechnen muss um die zweite zu bekommen, so das mit der zweiten dann erst die richtige erste Aufgabe rechnen kann??? Das geht doch nicht! Ich habe es trotzdem dann mal in die Formel für t eingesetzt und erhalte also für die gesamten 110,76m dann eine Zeit von 5,1 Sekunden.
Ich habe keine Ahnung ob das alles überhaupt stimmt.
Die nächste Frage wäre nämlich um wieviel km/h ich die Höchstgeschwindigkeit von 100km/h überschreite und egal bei welcher von den beiden Zeiten, ich würde die 100km/h nie überschreiten, also weiss ich , das ich falsch gerechnet habe. Ich habe nur überhaupt keine Ahnung, wie ich es sonst machen soll!
Vielleicht kann ja jemand mal den Rechenweg überprüfen und mir sagen wo der Fehler liegt.
Danke und Gruß,
clwoe
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Hi!
Also, du fängst gut an, aber dann verhaspelst du dich.
Du sagst, daß du erstmal davon ausgehst, daß der LKW in Ruhe sei. Das ist auch erstmal korrekt!
Das impliziert aber auch, daß DU dich ebenfalls in Ruhe befindest, allerdings sehe ich da immer ein [mm] v_0 [/mm] in der Rechnung.
(Also, wenn du mit 120 Sachen angebraust kommst, um dann auch noch zu beschleunigen, dann kommst du mit deinen 3s gut hin. Jedenfalls hast du das ausgerechnet)
Du rechnest:
[mm] $r=\bruch{1}{2}at^2$
[/mm]
wobei r der Abstand zwischen deiner alten und deiner neuen Position ist.
Danach kannst du deine Gesamtstrecke ausrechnen, diesmal
[mm] $s=v_0t+\bruch{1}{2}at^2$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 28.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Aber ich glaube das verstehe ich nicht ganz. Warum soll ich die Anfangsgeschwindigkeit rauslassen??? Ich gehe zwar davon aus das das System in Ruhe ist, aber ich komme doch mit 60km/h an und nicht aus dem Stand??!! Deshalb verstehe ich nicht warum man [mm] v_{0}*t [/mm] rauslassen soll?
Aber gut: Ich habe jetzt zuerst die erste Formel nach t umgestellt und dann für den Weg die 60m eingesetzt. Dann kam für die Zeit raus: 15,49s. Die habe ich dann in die zweite Formel eingesetzt und habe für die gesamte Strecke während des gesamten Überholvorganges dann raus: 498,25m.
Ich wäre nie darauf gekommen, den ersten Term wegzulassen. Muss man das nur machen, weil man eben selbst auch in Ruhe ist??? Ich meine das ist mir ja jetzt klar, aber es leuchtet mir eben nicht ganz ein, wie die richtige Zeit rauskommen kann, obwohl doch eigentlich dann ein Stück fehlt. Ich glaube ich hatte gerade eben einen Gedankenblitz und verstehe es jetzt doch. Und zwar: Wenn ich sage ich bin in Ruhe und das ganze System ist in Ruhe, ist es doch eigentlich das gleiche, als wenn ich fahren würde und ab einem bestimmten Punkt das beschleunigen anfangen würde. Es würde ja trotzdem die gleiche Zeit vergehen in der sich das gesamte System weiterbewegt genauso als wie wenn das System in Ruhe wäre. Stimmt diese Annahme?
Dann ist mir auch klar warum ich die Anfangsgeschwindigkeit weglassen muss.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallo clwoe,
> Aber gut: Ich habe jetzt zuerst die erste Formel nach t
> umgestellt und dann für den Weg die 60m eingesetzt. Dann
> kam für die Zeit raus: 15,49s. Die habe ich dann in die
> zweite Formel eingesetzt und habe für die gesamte Strecke
> während des gesamten Überholvorganges dann raus: 498,25m.
Da hast du dich etwas verrechnet.
[mm] r=\bruch{1}{2}*a*t^{2}
[/mm]
nach t aufgelöst
[mm] t=\wurzel{\bruch{2r}{a}}
[/mm]
[mm] t=\wurzel{\bruch{2*60m}{2\bruch{m}{s^{2}}}}
[/mm]
t=7,75s
Die gesamte Strecke berechnet sich dann entsprechend der neuen Zeit zu:
s=189,2m
> Ich wäre nie darauf gekommen, den ersten Term wegzulassen.
> Muss man das nur machen, weil man eben selbst auch in Ruhe
> ist??? Ich meine das ist mir ja jetzt klar, aber es
> leuchtet mir eben nicht ganz ein, wie die richtige Zeit
> rauskommen kann, obwohl doch eigentlich dann ein Stück
> fehlt. Ich glaube ich hatte gerade eben einen Gedankenblitz
> und verstehe es jetzt doch. Und zwar: Wenn ich sage ich bin
> in Ruhe und das ganze System ist in Ruhe, ist es doch
> eigentlich das gleiche, als wenn ich fahren würde und ab
> einem bestimmten Punkt das beschleunigen anfangen würde. Es
> würde ja trotzdem die gleiche Zeit vergehen in der sich das
> gesamte System weiterbewegt genauso als wie wenn das System
> in Ruhe wäre. Stimmt diese Annahme?
Richtig. Wenn du den LKW so betrachtest als wäre er in Ruhe, musst du natürlich auch alle Körper die du im Zusammenhang mit dem LKW betrachten willst entsprechend anpassen.
Umgangssprachlich gesagt... wenn du dem LKW 60km/h "wegnimmst", musst du allen anderen Körpern im System auch 60km/h "wegnehmen".
Damit befinden sich dann zu Beginn des Überholvorganges sowohl der LKW als auch der PKW in Ruhe.
Du musst also sehr darauf achten, dass wenn du ein System veränderst, das du auch wirklich alle Körper im System genau gleich veränderst.
Beste Grüße,
Vertex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Sa 28.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
alles klar, kleiner dummer Rechenfehler! Gut, dann habe ich es jetzt verstanden mit deiner ERklärung. Das leuchtet mir ein!
vielen Dank und Gruß,
clwoe
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