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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:56 Sa 14.01.2017 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | Sei $ f = [mm] (f_0,...,f_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$ [/mm] und
$ [mm] (DFT(f))_j [/mm] = 1/n [mm] *\sum_{k=0}^{n-1}f_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_j [/mm] $.
Wir nennen $ d = [mm] (d_0,...,d_{n-1})$ [/mm] die Diskrete Fourier- Transformation (DFT) von f. Die Inverse DFT ist durch
$ [mm] (IDFT(d))_j [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_k*e^{jki2\pi/n}=f_j [/mm] $ definiert.
Bezeichne mit $ R : [mm] \mathbb{C}^n \longrightarrow \mathbb{C}^n, R(a_0,...,a_{n-1})= (a_0,a_{n-1},a_{n-2},...,a_1) [/mm] $ den Operator, der die Reihenfolge der Stützstellen invertiert.
Überprüfe, ob [mm] $DFT^{-1} [/mm] = IDFT = n * [mm] DFT\circ [/mm] R$. |
Guten Morgen,
hier ist mein Ansatz
$(n * [mm] DFT(R(d)))_j= [/mm] n * [mm] (DFT(R(d)))_j= n*1/n*\sum_{k=0}^{n-1}R_k(d)*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=n-1}^{1}d_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] =/= [mm] (IDFT(d))_j [/mm] $ für ein j und d.
Heißt das ich brauche ein Gegenbeispiel um es zu widerlegen ? Stimmt meine Rechnung überhaupt ?
Gruß
Septime
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(Frage) überfällig | | Datum: | 07:02 So 15.01.2017 | | Autor: | Septime |
Ich habe einige Vektoren ausprobiert und bei jedem Vektor stimmte die Gleichung, also denke ich, dass die Gleichung doch stimmt...
$ (n [mm] \cdot{} DFT(R(d)))_j= [/mm] n [mm] \cdot{} (DFT(R(d)))_j= n\cdot{}1/n\cdot{}\sum_{k=0}^{n-1}R_k(d)\cdot{}e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n-1}d_{n-k}\cdot{}e^{-jki2\pi/n}= d_0e^0 +\sum_{k=1}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{j(k-n)i2\pi/n}$
[/mm]
und nun soll ich diese Gleichung zeigen
[mm] $d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{j(k-n)i2\pi/n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{jki2\pi/n}=: [/mm] IDFT$
also insbesondere soll ich zeigen, dass
[mm] $e^{j(k-n)i2\pi/n} [/mm] = [mm] e^{jki2\pi/n}$
[/mm]
gilt.
Ich habe bereits versucht [mm] $d_{n}$ [/mm] einzusetzen, doch ich bekomme nichts heraus, was zum Ziel führen würde und wenn ich die letzte Gleichung auflöse, bekomme ich nur n=0 raus (was nicht stimmt).
Ich freue mich über jede Antwort.
Gruß Septime
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Do 19.01.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Mi 18.01.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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