Überprüfung eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Menge F sei die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die Menge aller unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm] (a_{0}, a_{1}, a_{2}, [/mm] ...), sodass gilt
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}, [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0
Teilaufgabe 1) Zeige, dass F ein Vektorraum ist.
Teilaufgabe 2) Gib zwei Elemente [mm] f_{1}, f_{2} \in [/mm] F, sodass jedes f [mm] \in [/mm] F geschrieben werden kann als [mm] af_{1} [/mm] + [mm] bf_{2}, [/mm] für a, b [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo liebe Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss zugeben, dass das hier so ziemlich der erste mathematische Beweis ist, den ich in meinem Leben führe, darum bin ich noch sehr unsicher. Meine Lösungsvorschläge sind folgende.
Teilaufgabe 1)
Weil wir wissen, dass die Menge aller reellen Zahlen ein Vektorraum ist, müssen wir nur überprüfen, ob der Nullvektor in F ist und ob F abgeschlossen ist bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation.
Man hat also a, b [mm] \in [/mm] F und c [mm] \in \IR. [/mm] Jetzt überprüft man, ob (a + [mm] b)_{n+2} [/mm] in F ist:
(a + [mm] b)_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+2} [/mm] + [mm] b_{n+2} [/mm] = [mm] (a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] + [mm] (b_{n+1} [/mm] + [mm] b_{n}). [/mm]
Weil die Zahlen ganz rechts der Gleichung reelle Zahlen sind, kann man sie umgruppieren:
(a + [mm] b)_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+2} [/mm] + [mm] b_{n+2} [/mm] = [mm] (a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] + [mm] (b_{n+1} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] = [mm] (a_{n+1} [/mm] + [mm] b_{n+1}) [/mm] + [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n})
[/mm]
Hieraus folgt:
(a + [mm] b)_{n+2} [/mm] = (a + [mm] b)_{n+1} [/mm] + (a + [mm] b)_{n}, [/mm] was zeigt, dass F abgeschlossen ist bezüglich der Addition.
Ist F auch abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation?
[mm] c(a_{n+2}) [/mm] = [mm] c(a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] = [mm] ca_{n+1} [/mm] + [mm] ca_{n}
[/mm]
Hier sieht man, dass die Fibonaccifolge [mm] c(a_{n+2}) [/mm] einfach eine skalierte Variante von [mm] a_{n+2} [/mm] ist, wodurch F auch abgeschlossen ist bezüglich Skalarmultiplikation.
Der Nullvektor ist auch in F enthalten, weil es eine Folge gibt, sodass gilt [mm] a_{n+2} [/mm] + [mm] 0_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+2} (0_{n+2} [/mm] ist die Fibonaccifolge mit [mm] 0_{1} [/mm] = [mm] 0_{2} [/mm] = 0.)
F ist also ein Vektorraum.
Teilaufgabe 2:
Eine Fibonaccifolge, worin die ersten zwei Zahlen variabel sind, sieht so aus:
f = {c, d, (c + d), (c + 2d), (2c + 3d), (3c + 5d), (5c + 8d), ...}
Man kann diese Folge nun aufteilen in [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}:
[/mm]
[mm] f_{1} [/mm] = {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...}
[mm] f_{2} [/mm] = {0, d, d, 2d, 3d, 5d, 8d, ...}
Wenn man diese Folgen nun addiert, erhält man f. Es gilt also:
f = a * {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...} + b * {0, d, d, 2d, 3d, 5d, 8d, ...}
wobei a, b [mm] \in \IR
[/mm]
Meine Frage:
Ist das, was ich hier in beiden Teilaufgaben gemacht habe, ein gültiger Beweis? Und wenn nein, was hab ich falsch gemacht und müsste ich machen, damit es richtig ist? Wie schon am Anfang erwähnt, hab ich noch nie wirklich etwas mathematisch bewiesen. Darum bitte ich um Nachsicht für dumme Fehler und gut verständliche Erklärungen :)
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Menge F sei die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die
> Menge aller unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_{0}, a_{1}, a_{2},[/mm]
> ...), sodass gilt
>
> [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n},[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0
>
> Teilaufgabe 1) Zeige, dass F ein Vektorraum ist.
> Teilaufgabe 2) Gib zwei Elemente [mm]f_{1}, f_{2} \in[/mm] F,
> sodass jedes f [mm]\in[/mm] F geschrieben werden kann als [mm]af_{1}[/mm] +
> [mm]bf_{2},[/mm] für a, b [mm]\in \IR[/mm]
Steht denn da auch dabei was die Addition uns Skalarmult. auf F sein sollen?
> Hallo liebe Leute,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich muss zugeben, dass das hier so ziemlich der erste
> mathematische Beweis ist, den ich in meinem Leben führe,
> darum bin ich noch sehr unsicher. Meine Lösungsvorschläge
> sind folgende.
>
> Teilaufgabe 1)
> Weil wir wissen, dass die Menge aller reellen Zahlen ein
> Vektorraum ist,
Das ist irgendwo zwischen sehr schlecht formuliert und falsch.
Aus der Menge [mm] $\mathbb [/mm] R$ kann man sehr viele verschiedene Vektorräume machen.
Ein Vektorraum braucht außer der Menge noch einen Körper und zwei Verknüpfungen, so habt ihr es auch sicher definiert.
> müssen wir nur überprüfen, ob der
> Nullvektor in F ist und ob F abgeschlossen ist bezüglich
> der Addition und Skalarmultiplikation.
Nein.
Du scheinst hier auf das Unterraum-Kriterium zu zielen, aber es gilt hier nicht $F [mm] \subseteq \mathbb [/mm] R$, daher kann F kein Unterraum sein - da es nicht mal Teilmenge ist.
Du musst hier schon alle Punkte der Vektorraumdef. durchgehen.
> Man hat also a, b [mm]\in[/mm] F und c [mm]\in \IR.[/mm] Jetzt überprüft
> man, ob (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] in F ist:
>
> (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n}).[/mm]
>
> Weil die Zahlen ganz rechts der Gleichung reelle Zahlen
> sind, kann man sie umgruppieren:
>
> (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n+1})[/mm] + [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = (a + [mm]b)_{n+1}[/mm] + (a + [mm]b)_{n},[/mm] was zeigt,
> dass F abgeschlossen ist bezüglich der Addition.
>
> Ist F auch abgeschlossen bezüglich der
> Skalarmultiplikation?
>
> [mm]c(a_{n+2})[/mm] = [mm]c(a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] = [mm]ca_{n+1}[/mm] + [mm]ca_{n}[/mm]
>
> Hier sieht man, dass die Fibonaccifolge [mm]c(a_{n+2})[/mm] einfach
> eine skalierte Variante von [mm]a_{n+2}[/mm] ist, wodurch F auch
> abgeschlossen ist bezüglich Skalarmultiplikation.
>
> Der Nullvektor ist auch in F enthalten, weil es eine Folge
> gibt, sodass gilt [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]0_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2} (0_{n+2}[/mm] ist
> die Fibonaccifolge mit [mm]0_{1}[/mm] = [mm]0_{2}[/mm] = 0.)
>
> F ist also ein Vektorraum.
>
> Teilaufgabe 2:
> Eine Fibonaccifolge, worin die ersten zwei Zahlen variabel
> sind, sieht so aus:
>
> f = {c, d, (c + d), (c + 2d), (2c + 3d), (3c + 5d), (5c +
> 8d), ...}
> Man kann diese Folge nun aufteilen in [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}:[/mm]
>
> [mm]f_{1}[/mm] = {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...}
> [mm]f_{2}[/mm] = {0, d, d, 2d, 3d, 5d, 8d, ...}
>
> Wenn man diese Folgen nun addiert, erhält man f. Es gilt
> also:
>
> f = a * {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...} + b * {0, d, d, 2d,
> 3d, 5d, 8d, ...}
>
> wobei a, b [mm]\in \IR[/mm]
Du sollst hier zwei konkrete Elemente von F angeben, sprich Fibonaccifolgen die nur Zahlen enthalten.
Und wie soll sich damit z.B. die klassische Fibonaccifolge ergeben?
Die Idee die sich dahinter versteckt ist aber wohl die richtige.
> Meine Frage:
> Ist das, was ich hier in beiden Teilaufgaben gemacht habe,
> ein gültiger Beweis? Und wenn nein, was hab ich falsch
> gemacht und müsste ich machen, damit es richtig ist? Wie
> schon am Anfang erwähnt, hab ich noch nie wirklich etwas
> mathematisch bewiesen. Darum bitte ich um Nachsicht für
> dumme Fehler und gut verständliche Erklärungen :)
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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> Hallo und
>
Danke :)
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> > Die Menge F sei die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die
> > Menge aller unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_{0}, a_{1}, a_{2},[/mm]
> > ...), sodass gilt
> >
> > [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n},[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Teilaufgabe 1) Zeige, dass F ein Vektorraum ist.
> > Teilaufgabe 2) Gib zwei Elemente [mm]f_{1}, f_{2} \in[/mm] F,
> > sodass jedes f [mm]\in[/mm] F geschrieben werden kann als [mm]af_{1}[/mm] +
> > [mm]bf_{2},[/mm] für a, b [mm]\in \IR[/mm]
> Steht denn da auch dabei was
> die Addition uns Skalarmult. auf F sein sollen?
Nein, es steht nicht dabei, was Addition und Skalarmultiplikation auf F sein sollen.
> > Hallo liebe Leute,
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich muss zugeben, dass das hier so ziemlich der erste
> > mathematische Beweis ist, den ich in meinem Leben führe,
> > darum bin ich noch sehr unsicher. Meine Lösungsvorschläge
> > sind folgende.
> >
> > Teilaufgabe 1)
> > Weil wir wissen, dass die Menge aller reellen Zahlen
> ein
> > Vektorraum ist,
> Das ist irgendwo zwischen sehr schlecht formuliert und
> falsch.
> Aus der Menge [mm]\mathbb R[/mm] kann man sehr viele verschiedene
> Vektorräume machen.
> Ein Vektorraum braucht außer der Menge noch winwn Körper
> und zwei Verknüpfungen, so habt ihr es auch sicher
> definiert.
> > müssen wir nur überprüfen, ob der
> > Nullvektor in F ist und ob F abgeschlossen ist bezüglich
> > der Addition und Skalarmultiplikation.
> Nein.
> Du scheinst hier auf das Unterraum-Kriterium zu zielen,
> aber es ist [mm]\mathbb R \subseteq F[/mm] und nicht [mm]F \subseteq \mathbb R[/mm].
>
> Du musst hier schon alle Punkte der Vektorraumdef.
> durchgehen.
Wir haben zwei Definitionen gehabt.
Definition 1: V sei ein Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V eine Teilmenge von V. Dann heißt U ein linearer Unterraum von V, wenn die folgenden drei Eigenschaften gelten:
1) 0 [mm] \in [/mm] U
2) Wenn [mm] u_{1} \in [/mm] U und [mm] u_{2} \in [/mm] U, dann [mm] u_{1} [/mm] + [mm] u_{2} \in [/mm] U.
3) Wenn c [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in [/mm] U, dann cu [mm] \in [/mm] U
Definition 2:
V sei ein Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Unterraum von V. Dann ist U ein Vektorraum!
Mehr haben wir nicht definiert. D.h. wenn V = [mm] \IR, [/mm] dann bilden alle Fibonaccifolgen doch einen linearen Unterraum von V, wenn die drei oben genannten Eigenschaften gelten (darum will ich sie auch überprüfen), oder? Das wurde übrigens auch im Seminar so gesagt. Wenn das nicht stimmt, dann bitte ich hier um eine Erklärung, weil ich es sonst nicht nachvollziehen kann.
> > Man hat also a, b [mm]\in[/mm] F und c [mm]\in \IR.[/mm] Jetzt überprüft
> > man, ob (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] in F ist:
> >
> > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> > [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n}).[/mm]
> >
> > Weil die Zahlen ganz rechts der Gleichung reelle Zahlen
> > sind, kann man sie umgruppieren:
> >
> > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> > [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n+1})[/mm] + [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm]
> >
> > Hieraus folgt:
> >
> > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = (a + [mm]b)_{n+1}[/mm] + (a + [mm]b)_{n},[/mm] was zeigt,
> > dass F abgeschlossen ist bezüglich der Addition.
> >
> > Ist F auch abgeschlossen bezüglich der
> > Skalarmultiplikation?
> >
> > [mm]c(a_{n+2})[/mm] = [mm]c(a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] = [mm]ca_{n+1}[/mm] + [mm]ca_{n}[/mm]
> >
> > Hier sieht man, dass die Fibonaccifolge [mm]c(a_{n+2})[/mm] einfach
> > eine skalierte Variante von [mm]a_{n+2}[/mm] ist, wodurch F auch
> > abgeschlossen ist bezüglich Skalarmultiplikation.
> >
> > Der Nullvektor ist auch in F enthalten, weil es eine Folge
> > gibt, sodass gilt [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]0_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2} (0_{n+2}[/mm] ist
> > die Fibonaccifolge mit [mm]0_{1}[/mm] = [mm]0_{2}[/mm] = 0.)
> >
> > F ist also ein Vektorraum.
> >
> > Teilaufgabe 2:
> > Eine Fibonaccifolge, worin die ersten zwei Zahlen
> variabel
> > sind, sieht so aus:
> >
> > f = {c, d, (c + d), (c + 2d), (2c + 3d), (3c + 5d), (5c +
> > 8d), ...}
> > Man kann diese Folge nun aufteilen in [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}:[/mm]
> >
> > [mm]f_{1}[/mm] = {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...}
> > [mm]f_{2}[/mm] = {0, d, d, 2d, 3d, 5d, 8d, ...}
> >
> > Wenn man diese Folgen nun addiert, erhält man f. Es gilt
> > also:
> >
> > f = a * {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...} + b * {0, d, d, 2d,
> > 3d, 5d, 8d, ...}
> >
> > wobei a, b [mm]\in \IR[/mm]
>
> Du sollst hier zwei konkrete Elemente von F angeben, sprich
> Fibonaccifolgen die nur Zahlen enthalten.
>
> Und wie soll sich damit z.B. die klassische Fibonaccifolge
> ergeben?
>
> Die Idee die sich dahinter versteckt ist aber wohl die
> richtige.
Kann ich also irgendwelche Zahlen hier einsetzen? Dann könnte ich doch z.B. einfach a = 1, b = 1, c = 1 und d = 1 einsetzen, oder? Dann hätte ich auch die klassische Fibonaccifolge, wo die ersten zwei Elemente 1 sind.
> > Meine Frage:
> > Ist das, was ich hier in beiden Teilaufgaben gemacht
> habe,
> > ein gültiger Beweis? Und wenn nein, was hab ich falsch
> > gemacht und müsste ich machen, damit es richtig ist? Wie
> > schon am Anfang erwähnt, hab ich noch nie wirklich etwas
> > mathematisch bewiesen. Darum bitte ich um Nachsicht für
> > dumme Fehler und gut verständliche Erklärungen :)
> >
> > Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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> > Hallo und
> >
> Danke :)
>
> >
> > > Die Menge F sei die Menge der Fibonaccifolgen, d.h. die
> > > Menge aller unendlicher Folgen reeller Zahlen [mm](a_{0}, a_{1}, a_{2},[/mm]
> > > ...), sodass gilt
> > >
> > > [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n},[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0
> > >
> > > Teilaufgabe 1) Zeige, dass F ein Vektorraum ist.
> > > Teilaufgabe 2) Gib zwei Elemente [mm]f_{1}, f_{2} \in[/mm] F,
> > > sodass jedes f [mm]\in[/mm] F geschrieben werden kann als [mm]af_{1}[/mm] +
> > > [mm]bf_{2},[/mm] für a, b [mm]\in \IR[/mm]
> > Steht denn da auch dabei
> was
> > die Addition uns Skalarmult. auf F sein sollen?
>
> Nein, es steht nicht dabei, was Addition und
> Skalarmultiplikation auf F sein sollen.
Schade. Zu einer gut gestellten Aufgabe gehört das eigentlich dazu.
> > > Hallo liebe Leute,
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > > Ich muss zugeben, dass das hier so ziemlich der erste
> > > mathematische Beweis ist, den ich in meinem Leben führe,
> > > darum bin ich noch sehr unsicher. Meine Lösungsvorschläge
> > > sind folgende.
> > >
> > > Teilaufgabe 1)
> > > Weil wir wissen, dass die Menge aller reellen Zahlen
> > ein
> > > Vektorraum ist,
> > Das ist irgendwo zwischen sehr schlecht formuliert und
> > falsch.
> > Aus der Menge [mm]\mathbb R[/mm] kann man sehr viele
> verschiedene
> > Vektorräume machen.
> > Ein Vektorraum braucht außer der Menge noch winwn
> Körper
> > und zwei Verknüpfungen, so habt ihr es auch sicher
> > definiert.
> > > müssen wir nur überprüfen, ob der
> > > Nullvektor in F ist und ob F abgeschlossen ist bezüglich
> > > der Addition und Skalarmultiplikation.
> > Nein.
> > Du scheinst hier auf das Unterraum-Kriterium zu zielen,
> > aber es ist [mm]\mathbb R \subseteq F[/mm] und nicht [mm]F \subseteq \mathbb R[/mm].
>
> >
> > Du musst hier schon alle Punkte der Vektorraumdef.
> > durchgehen.
>
> Wir haben zwei Definitionen gehabt.
> Definition 1: V sei ein Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V eine
> Teilmenge von V. Dann heißt U ein linearer Unterraum von
> V, wenn die folgenden drei Eigenschaften gelten:
> 1) 0 [mm]\in[/mm] U
> 2) Wenn [mm]u_{1} \in[/mm] U und [mm]u_{2} \in[/mm] U, dann [mm]u_{1}[/mm] + [mm]u_{2} \in[/mm]
> U.
> 3) Wenn c [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in[/mm] U, dann cu [mm]\in[/mm] U
>
> Definition 2:
> V sei ein Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V ein linearer
> Unterraum von V. Dann ist U ein Vektorraum!
Ich kann nicht glauben, dass ihr den Begriff Vektorraum nicht definiert habt.
Und ich tu es auch nicht, denn im anderen Thread hast du die Definition ja
(mehr oder weniger) hingeschrieben.
> Mehr haben wir nicht definiert. D.h. wenn V = [mm]\IR,[/mm] dann
> bilden alle Fibonaccifolgen doch einen linearen Unterraum
> von V, wenn die drei oben genannten Eigenschaften gelten
> (darum will ich sie auch überprüfen), oder? Das wurde
> übrigens auch im Seminar so gesagt. Wenn das nicht stimmt,
> dann bitte ich hier um eine Erklärung, weil ich es sonst
> nicht nachvollziehen kann.
Ja aber V ist nicht [mm] $\mathbb [/mm] R$. Ex falso qoudlibet, aus falschen folgt was auch immer man haben will.
Und wie bereits gesagt, das hier hat nichts mit Unterräumen zu tun.
> > > Man hat also a, b [mm]\in[/mm] F und c [mm]\in \IR.[/mm] Jetzt überprüft
> > > man, ob (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] in F ist:
> > >
> > > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> > > [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n}).[/mm]
> > >
> > > Weil die Zahlen ganz rechts der Gleichung reelle Zahlen
> > > sind, kann man sie umgruppieren:
> > >
> > > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]b_{n+2}[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] +
> > > [mm](b_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] = [mm](a_{n+1}[/mm] + [mm]b_{n+1})[/mm] + [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm]
> > >
> > > Hieraus folgt:
> > >
> > > (a + [mm]b)_{n+2}[/mm] = (a + [mm]b)_{n+1}[/mm] + (a + [mm]b)_{n},[/mm] was zeigt,
> > > dass F abgeschlossen ist bezüglich der Addition.
> > >
> > > Ist F auch abgeschlossen bezüglich der
> > > Skalarmultiplikation?
> > >
> > > [mm]c(a_{n+2})[/mm] = [mm]c(a_{n+1}[/mm] + [mm]a_{n})[/mm] = [mm]ca_{n+1}[/mm] + [mm]ca_{n}[/mm]
> > >
> > > Hier sieht man, dass die Fibonaccifolge [mm]c(a_{n+2})[/mm] einfach
> > > eine skalierte Variante von [mm]a_{n+2}[/mm] ist, wodurch F auch
> > > abgeschlossen ist bezüglich Skalarmultiplikation.
> > >
> > > Der Nullvektor ist auch in F enthalten, weil es eine Folge
> > > gibt, sodass gilt [mm]a_{n+2}[/mm] + [mm]0_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+2} (0_{n+2}[/mm] ist
> > > die Fibonaccifolge mit [mm]0_{1}[/mm] = [mm]0_{2}[/mm] = 0.)
> > >
> > > F ist also ein Vektorraum.
> > >
> > > Teilaufgabe 2:
> > > Eine Fibonaccifolge, worin die ersten zwei Zahlen
> > variabel
> > > sind, sieht so aus:
> > >
> > > f = {c, d, (c + d), (c + 2d), (2c + 3d), (3c + 5d), (5c +
> > > 8d), ...}
> > > Man kann diese Folge nun aufteilen in [mm]f_{1}[/mm] und
> [mm]f_{2}:[/mm]
> > >
> > > [mm]f_{1}[/mm] = {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...}
> > > [mm]f_{2}[/mm] = {0, d, d, 2d, 3d, 5d, 8d, ...}
> > >
> > > Wenn man diese Folgen nun addiert, erhält man f. Es gilt
> > > also:
> > >
> > > f = a * {c, 0, c, c, 2c, 3c, 5c, ...} + b * {0, d, d, 2d,
> > > 3d, 5d, 8d, ...}
> > >
> > > wobei a, b [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Du sollst hier zwei konkrete Elemente von F angeben, sprich
> > Fibonaccifolgen die nur Zahlen enthalten.
> >
> > Und wie soll sich damit z.B. die klassische Fibonaccifolge
> > ergeben?
> >
> > Die Idee die sich dahinter versteckt ist aber wohl die
> > richtige.
>
> Kann ich also irgendwelche Zahlen hier einsetzen? Dann
> könnte ich doch z.B. einfach a = 1, b = 1, c = 1 und d = 1
> einsetzen, oder? Dann hätte ich auch die klassische
> Fibonaccifolge, wo die ersten zwei Elemente 1 sind.
Du musst für c und d Zahlen einsetzen, die richtigen hast du genannt.
Jetzt gilt es zu zeigen, dass für jede Fibonaccifolge f zwei Zahlen a und b existieren derart, dass f=a(1,0,....)+b(0,1,...)
> > > Meine Frage:
> > > Ist das, was ich hier in beiden Teilaufgaben gemacht
> > habe,
> > > ein gültiger Beweis? Und wenn nein, was hab ich falsch
> > > gemacht und müsste ich machen, damit es richtig ist? Wie
> > > schon am Anfang erwähnt, hab ich noch nie wirklich etwas
> > > mathematisch bewiesen. Darum bitte ich um Nachsicht für
> > > dumme Fehler und gut verständliche Erklärungen :)
> > >
> > > Vielen Dank schon mal im Voraus :)
> >
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