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| Aufgabe | Übungen zu Folgen und Stetigkeit:
Berechnen Sie den Grenzwert, indem Sie die Ausdrücke zunächst geschickt umformen.
(i) [mm] \lim_{x \to \infty}(\wurzel{x^2+1}-x) [/mm] |
Ich wünschte es gäbe bei diesen Übungszetteln Beispiele..
Ich besuche gerade einen Mathe Vorkurs an einer Uni und wir bekommen Aufgaben, welche wir noch nie so gemacht haben, so ist es verständlich, dass man nicht direkt weis, was wie gefordert ist..
Ich wünsche mir keine Lösung sondern eher den Weg zur Lösung :)
Könnt ihr mir erklären, wie man an diese Aufgabe herangeht und es richtig formuliert, dann schaffe ich (ii..) auch selbst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Di 10.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Übungen zu Folgen und Stetigkeit:
> Berechnen Sie den Grenzwert, indem Sie die Ausdrücke
> zunächst geschickt umformen.
>
> (i) [mm]\lim_{x \to \infty}(\wurzel{x^2+1}-x)[/mm]
> Ich wünschte es
> gäbe bei diesen Übungszetteln Beispiele..
> Ich besuche gerade einen Mathe Vorkurs an einer Uni und
> wir bekommen Aufgaben, welche wir noch nie so gemacht
> haben, so ist es verständlich, dass man nicht direkt weis,
> was wie gefordert ist..
>
> Ich wünsche mir keine Lösung sondern eher den Weg zur
> Lösung :)
> Könnt ihr mir erklären, wie man an diese Aufgabe
> herangeht und es richtig formuliert, dann schaffe ich
> (ii..) auch selbst.
merke Dir folgenden Trick gut: für a,b >0 ist
[mm] \wurzel{a}-\wurzel{b}=\bruch{(\wurzel{a}-\wurzel{b})*(\wurzel{a}+\wurzel{b})}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}
[/mm]
Zu $ [mm] \lim_{x \to \infty}(\wurzel{x^2+1}-x) [/mm] $:
Für x>0 ist
[mm] \wurzel{x^2+1}-x=\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2}
[/mm]
Jetzt "tricksen".
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank,
ich komme auf die Formel:
[mm] \lim_{x \to \infty}\left( \bruch{2x^2+1}{ \wurzel{x^2+1}\wurzel{x^2}} \right) [/mm] = [mm] \left( \bruch {5}{2} \right)
[/mm]
D.h. der Grenzwert liegt bei 5/2, weil x→Unendlich den Wert nie überschreitet ?
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielen Dank,
>
> ich komme auf die Formel:
>
> [mm]\lim_{x \to \infty}\left( \bruch{2x^2+1}{ \wurzel{x^2+1}\wurzel{x^2}} \right)[/mm]
> = [mm]\left( \bruch {5}{2} \right)[/mm]
>
> D.h. der Grenzwert liegt bei 5/2, weil x→Unendlich den
> Wert nie überschreitet ?
Das ist falsch. Da deine Rechnung nicht dabeisteht, kann man nur mutmaßen, was falsch gelaufen ist:
- Im Zähler hast du so wie es ausschaut einen Vorzeichendreher, da müsste sich eigentlich das eine oder andere [mm] x^2 [/mm] gegenseitig eliminieren.
- Im Nenner, das verstehe ich überhaupt nicht, da musst du den Fehler selber suchen. Bedenke aber: da war vorher gar kein Nenner, sollte da nicht genau der Term stehen, mit dem erweitert wurde?
Gruß, Diophant
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Mir ist ein Fehler beim kürzen aufgefallen anstatt von 5/2 habe habe ich nun:
[mm] \lim_{x \to \infty}\bruch {3x^4+1}{1+1} [/mm] = [mm] \bruch {3}{2}x^4+0.5
[/mm]
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Hallo,
> Mir ist ein Fehler beim kürzen aufgefallen anstatt von 5/2
> habe habe ich nun:
>
> [mm]\lim_{x \to \infty}\bruch {3x^4+1}{1+1}[/mm] = [mm]\bruch {3}{2}x^4+0.5[/mm]
>
Das nennt man wohl Verschlimmbessern. 
Beachte die bisher gegebenen Hinweise und versuche, deine Fehler (es sind mehrere!) zu finden. Ansonsten gib doch deine kompletten ÜBerlegungen an, dann können wir dir auch sagen, wo es hakt.
Gruß, Diophant
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Ja, habe ich auch gerade gemerkt :/
nun ganz neu:
[mm] \lim_{x \to \infty}\bruch {x^2+1-x^2}{\wurzel {x^2+1}+ \wurzel{x^2}} [/mm] = [mm] \bruch {1}{x^2+1+x^2}
[/mm]
sieht das besser aus?
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Hallo,
> Ja, habe ich auch gerade gemerkt :/
>
> nun ganz neu:
>
> [mm]\lim_{x \to \infty}\bruch {x^2+1-x^2}{\wurzel {x^2+1}+ \wurzel{x^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch {1}{x^2+1+x^2}[/mm]
>
> sieht das besser aus?
Ein wenig. 
Im Nenner ist dir noch das Wurzelzeichen flöten gegangen, dafür hast du dir ein Quadrat zu viel eingehandelt. Richtig muss es heißen
[mm]\sqrt{x^2+1}-x= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)*(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}[/mm]
Und da kannst du den geforderten Grenzwert jetzt erstmal unmittelbar ablesen und auch leicht zeigen.
Gruß, Diophant
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Ich hatte den kompleten Term noch hoch 2 gerechnet(falsch?), so kam die Wurzel weg.. und das x².
Wobei man bereits vorher sieht das x→Unendlich gegen null geht.
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> Ich hatte den kompleten Term noch hoch 2
> gerechnet(falsch?), so kam die Wurzel weg.. und das x².
a) Sinnlos
b)hast du den Term falsch ausgerechnet- bedenke [mm] (a+b)^2 [/mm] .... wie löst man das auf?
>
> Wobei man bereits vorher sieht das x→Unendlich gegen null
ganz genau
> geht.
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Di 10.09.2013 | | Autor: | UID314159 |
Danke für die Hilfe an alle!
PS:
b) Ja, ich habe die Binomisiche Formel ganz übersehen (u.a. wegen der Wurzeln)
MfG UID314159
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Di 10.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Gerne :)
Dann viel Erfolg bei ii) und iii) und iv) usw. !
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 10.09.2013 | | Autor: | UID314159 |
upps ich habe einen Fehler gemacht, ich bin dran..
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Hallo,
Beachte Freds Hinweis.
Er hat dir eigentlich alles verraten, es gilt also:
[mm] \wurzel{a}- \wurzel{b} [/mm] = [mm] \frac{ (\wurzel{a}- \wurzel{b}) * (\wurzel{a}+ \wurzel{b}}{\wurzel{a}+ \wurzel{b}}
[/mm]
dies ist doch:
[mm] \frac{(a-b)}{\wurzel{a}+ \wurzel{b}} [/mm]
das ist ja:
[mm] \frac{(x^2 +1 -x^2)}{\wurzel{x^2+1}+ \wurzel{x^2}} \to [/mm] 0 für den Übergang x [mm] \to \infty.
[/mm]
Gruß Thomas
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