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Forum "VK 59: Lineare Algebra" - Übungsserie 4, Aufgabe 2
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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Aufgabe 2
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:37 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-2: Zeigen Sie, dass die Menge [mm] C_{[a,b]} [/mm] aller stetigen Funktionen f: [mm] [a,b]->\IR [/mm] ein Unterraum des Vektorraums [mm] \IR_{[a,b]} [/mm] aller auf [a,b] definierten reellwertigen Funktionen ist. ( [mm] a,b\in \IR, [/mm] a<b )

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)



        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Ich bräuchte für diese Aufgabe mal wieder einen kleinen Tipp...

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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 So 11.03.2012
Autor: Schadowmaster

1. Dass [mm] $\IR_{[a,b]}$ [/mm] ein reeller Vektorraum ist, kannst du als bekannt voraussetzen.
2. Kennst du die Unterraumaxiome?
Sind sie erfüllt?
Wenn du Stetigkeit zeigen sollst würde ich persönlich dir das Folgenkriterium empfehlen, aber geht sicher auch ohne.

lg

Schadow

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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie die Elemente dieser Menge aussehen.

Sind es Funktionen?

Wenn ja, dann lauten die Axiome doch:

1) [mm] $(g_1+g_2)(x) [/mm] = [mm] g_1(x) [/mm] + [mm] g_2(x)$ [/mm]

2) (ag)(x) = ag(x)

3) Die Menge darf nicht leer sein.





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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 So 11.03.2012
Autor: Schadowmaster

In [mm] $\IR_{[a,b]}$ [/mm] sind Funktionen, ja.
In der zu untersuchenden Menge sind alle stetig.
Das heißt, die Frage ist:
Ist [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] stetig?
Denn dann wäre [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] in der Menge drinn und dieses Axiom wäre abgehakt.

Bezug
        
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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Sei [mm] $g_1,g_2 \in C_{[a,b]}$ [/mm]

Da die beiden Funktionen stetig sind, so gilt:

[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] = L$ und $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_0} [/mm] = M$

Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge, wobei [mm] $x_n \in [a,b]\{x_0}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

(Folgenkriterium)

$ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} g_1(x_n) [/mm] = L$, $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g_2(x_n) [/mm] = M$

$ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (g_1+g_2)(x_n) [/mm] = L+M$

(Folgenkriterium)
$ [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0} (g_1+g_2)(x) [/mm] = L+M$

Damit ist auch [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] stetig und ein Element von [mm] C_{[a,b]} [/mm]

Sei weiterhin [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} g_1(x_n) [/mm] = L$

[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (\alpha*g_1)(x_n) [/mm] = [mm] \alpha*L$ [/mm]

(Folgenkriterium)
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} (\alpha*g_1)(x) [/mm] = [mm] \alpha*L$ [/mm]

Somit ist [mm] $\alpha*g_1$ [/mm] ebenfalls in [mm] $C_{[a,b]}$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 2: Limes
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Mi 30.05.2012
Autor: Blackwolf1990

Hallo Kimmel,

eine etwas späte Antwort von mir, aber ich hoffe dich interessiert es trotzdem noch... ;)

Ich denke, so wie du das machst ist das vollkommen ok. Insofern bei mir keine Denkfehler drin ist, kannst du hier doch einfach die Hilfsmittel aus der Analysis benutzen (ohne Extra-Beweis): erstmal musst du aber noch hervorheben: es ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] eine Teilmenge des Körpers der in [a,b] reellwertigen Funktionen. Des weiteren ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] nichtleer denn die konstante Nullfunktion liegt drin.

Nun zur Analysis: seien f,g stetige Funktionen in [a,b], dann ist nach Sätzen über die Zusammensetzung stetiger Funktionen auch (f+g)(x)=f(x)+g(x) stetig (addition alle Werte in [a,b] ) und für reelles [mm] \alpha [/mm] ist auch [mm] \alpha*f [/mm] stetig (ist Verschiebung um [mm] \alpha [/mm] in Richtung der y-Achse).
Damit ist [mm] C_{[a,b]} [/mm] ein Unterraum.

Viele Grüße.
Blacki


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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Mi 30.05.2012
Autor: fred97


> Hallo Kimmel,
>  
> eine etwas späte Antwort von mir, aber ich hoffe dich
> interessiert es trotzdem noch... ;)
>  
> Ich denke, so wie du das machst ist das vollkommen ok.
> Insofern bei mir keine Denkfehler drin ist, kannst du hier
> doch einfach die Hilfsmittel aus der Analysis benutzen
> (ohne Extra-Beweis): erstmal musst du aber noch
> hervorheben: es ist [mm]C_{[a,b]}[/mm] eine Teilmenge des Körpers
> der in [a,b] reellwertigen Funktionen.

Ist das wirklich ein Körper ?


>  Des weiteren ist
> [mm]C_{[a,b]}[/mm] nichtleer denn die konstante Nullfunktion liegt
> drin.
>  
> Nun zur Analysis: seien f,g stetige Funktionen in [a,b],
> dann ist nach Sätzen über die Zusammensetzung stetiger
> Funktionen auch (f+g)(x)=f(x)+g(x) stetig (addition alle
> Werte in [a,b] ) und für reelles [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]\alpha*f[/mm]
> stetig (ist Verschiebung um [mm]\alpha[/mm] in Richtung der
> y-Achse).

nein das wäre f+ [mm] \alpha [/mm]


FRED


> Damit ist [mm]C_{[a,b]}[/mm] ein Unterraum.
>
> Viele Grüße.
>  Blacki
>  


Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 2: Körper?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:13 Do 31.05.2012
Autor: Blackwolf1990

Wieso ist es kein Körper? O.o

Ok das zweite stimmt, da hab ich nicht aufgepasst. ^^ das ist eher sowas wie eine Streckung/Stauchung.

LG
Blackwolf

Bezug
                                        
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Übungsserie 4, Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Wieso ist es kein Körper? O.o

Sei V = Menge aller Funktionen f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit der punktweisen Addition "+" und Multiplikation [mm] "\cdot". [/mm]

Wenn V ein Körper wäre, so wäre $(V [mm] \setminus \{0\}, [/mm] *)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element [mm] f_0(x)=1 [/mm]

Zu jedem f [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] würde es dann ein g [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] geben mit: [mm] $f*g=f_0$ [/mm] auf [a,b]

Dann wäre aber jedes  f [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] nullstellenfrei.

FRED


>  
> Ok das zweite stimmt, da hab ich nicht aufgepasst. ^^ das
> ist eher sowas wie eine Streckung/Stauchung.
>  
> LG
>  Blackwolf


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