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Forum "VK 59: Lineare Algebra" - Übungsserie 4, Aufgabe 4
Übungsserie 4, Aufgabe 4 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 4, Aufgabe 4: Aufgabe 4
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:30 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-4: Sei V der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum aller reellwertigen Funktionen f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] . Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Funktionen aus V:
(a) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = [mm] x^{2} [/mm]
(b) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = [mm] e^{x^{2}} [/mm] , h(x) = x
(c) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x)

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)


        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

(Wronski-Determinante)

[mm] $w[\sin(x),\cos(x),e^x] [/mm] = [mm] \vmat{ \sin(x) & \cos(x) & e^x \\ \cos(x) & -\sin(x) & e^x \\ -\sin(x) & -\cos(x) & e^x} [/mm] $

$ = [mm] -\sin^2(x)*e^x [/mm] - [mm] \sin(x)*\cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \cos^2(x)*e^x [/mm] - [mm] \sin^2(x)*e^x [/mm] + [mm] \sin(x)*cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \cos^2(x)*e^x [/mm] $

$ = [mm] -e^x(\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] $

$ = [mm] -2e^x [/mm] $

Da [mm] $w[\sin(x),\cos(x),e^x]$ [/mm] für alle $x [mm] \not= [/mm] 0$ ist (eig. reicht eins), sind die drei Funktionen linear unabhängig.


Bezug
        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

(Wronski-Determinante)

[mm] $w[e^x,e^{x^2},x] [/mm] = [mm] \vmat{ e^x & e^{x^2} & x \\ e^x & 2x*e^{x^2} & 1 \\ e^x & 2e^{x^2} + 4x^2*e^{x^2} & 0 }$ [/mm]

$ = [mm] e^{x^2}*e^x [/mm] + [mm] x*e^x(2e^{x^2}+4x^2*e^{x^2}) [/mm] - [mm] x*e^x*2x*e^{x^2} [/mm] - [mm] e^x*(2e^{x^2}+4x^2*e^{x^2})$ [/mm]

$ = [mm] e^x*e^{x^2} [/mm] ( 1 + 2x + [mm] 4x^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - 2 - [mm] 4x^2) [/mm] $

$ = [mm] -e^x*e^{x^2} (2x^2 [/mm] - 2x+1) $

Für alle x ist [mm] $w[e^x,e^{x^2},x] \not= [/mm] 0$.

Daher sind die drei Funktionen linear unabhängig.

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Sa 10.03.2012
Autor: leduart

Hallo
Beide Aufgaben richtig, einfacher ist es  3 einfache x werte e
einzusetzen und daraus zu zeigen, dass sie lin unabhängig sind.
Gruss leduart


Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Kannst du mir zeigen wie das geht bzw. wo ich das nachschauen kann?

Ich habe bisher sowas noch nicht in LA1 gemacht und habe das mithile von Videos/Wikipedia gemacht und da war meinstens nur von der Wronski-Determinante die Rede...

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:17 So 11.03.2012
Autor: Schadowmaster

Hey Kimmel,

Für lineare Unabhängigkeit soll gelten, dass die Gleichung:
[mm] $a*e^x [/mm] + b*sin(x) + [mm] c*x^2 [/mm] = 0$ nur die Lösung $a=b=c=0$ hat.
Hierbei ist hier keine Gleichheit für einen speziellen $x$-Wert gemeint, sondern es ist eine Gleichheit von Funktionen gemeint, also muss es für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten.
Nun heißt es geschickt einsetzen:
1. $x = 0$
Dann vereinfacht sich die Gleichung zu $a*1 + b*0 + c*0 = 0$, also $a=0$.
2. $x=pi$
Da $a$ bereits 0 ist, kriegen wir hier: $b*0 + [mm] c*\pi^2 [/mm] = 0$, also $c=0$.

Nun haben wir die Gleichung in die Form $b*sin(x) = 0$ gebracht.
Da $sin$ nicht die Nullfunktion ist finden wir sicher ein $x$ so, dass $sin(x) [mm] \neq [/mm] 0$, etwa [mm] $x=\pi/2$. [/mm]
Damit folgt schließlich auch $b=0$ und somit ist gezeigt, dass $a=b=c=0$ gelten muss, die drei Funktionen sind also linear unabhängig.

lg

Schadow

Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 4: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Dankeschön, Shadowmaster.

Wusste gar nicht, dass man einfach so irgendwelche x-Werte nehmen kann.

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