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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 5, Aufgabe 1
Übungsserie 5, Aufgabe 1 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "VK 60: Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Übungsserie 5, Aufgabe 1: Aufgabe 1
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 14:39 Di 13.03.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
V-1: a) Sei a>0. Berechnen Sie den Grenzwert für n [mm] ->\infty [/mm] von [mm] a_{n}=\bruch{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} [/mm]
b) Sei [mm] (a_{n})_{ n\ge 1} [/mm] eine reelle oder komplexe Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] (\wurzel[k]{|a_{n}|})_{n\ge 1} [/mm] mit festem [mm] k\in \IN [/mm] eine Nullfolge ist.

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 21.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}$ [/mm]

1.Fall
$\ a > 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$ [/mm]

2.Fall
$\ a = 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+a}$ [/mm]

3.Fall
$\ 0<a<1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = 0 $

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mi 21.03.2012
Autor: fred97


> [mm]a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}[/mm]
>  
> 1.Fall
>  [mm]\ a > 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{a}[/mm]
>  
> 2.Fall
>  [mm]\ a = 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{1+a}[/mm]
>  
> 3.Fall
>  [mm]\ 0


Es stimmt alles, aber es fehlen Begründungen !

FRED

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: a) v1.1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mi 21.03.2012
Autor: Kimmel

Begründungen dieser Art?

[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}$ [/mm]

1.Fall
$\ a > 1$:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$, [/mm] da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) [/mm] = 0$

2.Fall
$\ a = 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+a}$, [/mm] da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{1^{2n}} \right) [/mm] = 1$

3.Fall
$\ 0<a<1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = 0$, da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mi 21.03.2012
Autor: fred97


> Begründungen dieser Art?
>  
> [mm]a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}[/mm]
>  
> 1.Fall
>  [mm]\ a > 1[/mm]:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{a}[/mm],
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) = 0[/mm]

O.K.


>  
>  
> 2.Fall
>  [mm]\ a = 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{1+a}[/mm],
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{1^{2n}} \right) = 1[/mm]

Na, ja. Im Falle a=1 ist die Folge dovh konstant !


>  
> 3.Fall
>  [mm]\ 0
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) = \infty[/mm]

O.K.

FRED


Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mi 21.03.2012
Autor: Kimmel

Danke.

> Na, ja. Im Falle a=1 ist die Folge dovh konstant !

Haha, ja, das stimmt.



Bezug
        
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mi 21.03.2012
Autor: Kimmel

Setze [mm] $b_n [/mm] = [mm] \sqrt[k]{|a_n|}-1 \ge [/mm] -1 $
(Da die Wurzel aufgrund der Positivität größer gleich null ist).

[mm] $|a_n| [/mm] = [mm] (b_n+1)^k [/mm] = [mm] \sum_{m=1}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1 [/mm] $

[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le b_n+1 \le |a_n|$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \sqrt[k]{|a_n|} \le |a_n|$ [/mm]

Da [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, muss [mm] \sqrt[k]{|a_n|} [/mm] nach der Sandwich-Methode dies ebenfalls sein.

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 Do 22.03.2012
Autor: fred97


> Setze [mm]b_n = \sqrt[k]{|a_n|}-1 \ge -1[/mm]

Wozu ?


>  (Da die Wurzel
> aufgrund der Positivität größer gleich null ist).
>  
> [mm]|a_n| = (b_n+1)^k = \sum_{m=1}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1[/mm]

Das stimmt nicht. Das sieht man schon am Beispiel [mm] a_n=1/n [/mm]


FRED

>  
> [mm]\Rightarrow 0 \le b_n+1 \le |a_n|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 0 \le \sqrt[k]{|a_n|} \le |a_n|[/mm]
>  
> Da [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist, muss [mm]\sqrt[k]{|a_n|}[/mm] nach der
> Sandwich-Methode dies ebenfalls sein.


Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Do 22.03.2012
Autor: Kimmel

Ups, ich meinte

$ [mm] |a_n| [/mm] = [mm] (b_n+1)^k [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1 [/mm] $

(Laufindex war falsch)

Oder lag der Fehler woanders?

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 5, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 23.03.2012
Autor: fred97


> Ups, ich meinte
>
> [mm]|a_n| = (b_n+1)^k = \sum_{m=0}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1[/mm]
>  
> (Laufindex war falsch)
>  
> Oder lag der Fehler woanders?

Die Ungleichung [mm] |a_n| \ge b_n+1 [/mm] ist einfach falsch !!!

Nimm mal an sie wäre richtig, also

                   [mm] |a_n| \ge \wurzel[k]{|a_n|} [/mm]

Dann folgt:

                    [mm] |a_n|^k \ge |a_n|. [/mm]

Wenn jetzt alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 sind (was z.B. bei [mm] a_n=1/n [/mm] der Fall ist), so haben wir:

                   [mm] |a_n|^{k-1} \ge [/mm] 1  für alle n.

Ist k [mm] \ge [/mm] 2, so kann [mm] (a_n) [/mm] nie und nimmer eine Nullfolge sein.

FRED



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