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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f : R - R mit f(x) = 1 + x −
1/2sin x
auf R umkehrbar ist und ermitteln Sie die Werte f^-1(1) und (f^-1)`(1). |
Ich habe hier ein Verständnissproblem und ich hoffe mir kann jemand helfen.
Es ist f(x) = 1 + x −
1/2sin x
und f'(x) = 1 − 1/2
cos x > 0 für alle x element R
d.h. f ist auf R streng monoton steigend und damit injektiv,
sie ist auch stetig und somit insgesamt umkehrbar.
Bis hier ist alles klar
jetzt hab ich bei wikipedia gelesen: wenn dies alles zutrifft gilt:
y: = f(x), es gilt die folgende Umkehrregel:
f^-1(y)= 1/f'(f^-1(y))
also in meinem Fall
(f^-1)´ (1) = 1/f'(0)
= 1/1-1/2cos0 =2
Nun meine Frage wieso gilt hier y= f(x) also in meinem Fall kann ich ja dann einfach schreiben
1 = 1 + x − [mm] \bruch{1}{2}sin [/mm] x
wieso muss ich nicht erst nach x umstellen und und dann y und x vertasuchen wie in dem beispiel:
f(x) = 3x + 2. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f^− 1(y) = (y − 2) / 3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo meldrolon!
Sieh mal hier. Da wurde dieselbe Aufgabe vor kurzem behandelt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> d.h. f ist auf R streng monoton steigend und damit
> injektiv,
> sie ist auch stetig und somit insgesamt umkehrbar.
Das reicht noch nicht. z.B. ist [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] auch stetig und auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] streng monoton wachsend, aber auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht umkehrbar, da sie nicht surjektiv ist, d.h. es gibt reelle Zahlen (nämlich alle negativen), die von dieser Funktion nicht angenommen werden.
Du musst also zeigen dass jede reelle Zahl von deiner Funktion erwischt wird... Was sagen z.B. die Grenzwerten für [mm] $\pm\infty$? [/mm] Und warum kann man damit Surjektivität zeigen? (Stichwort Stetigkeit, Zwischenwertsatz, ...)
> jetzt hab ich bei wikipedia gelesen: wenn dies alles
> zutrifft gilt:
>
> y: = f(x), es gilt die folgende Umkehrregel:
>
> f^-1(y)= 1/f'(f^-1(y))
Du meinst wohl [mm] $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. [/mm] Auf der linken Seite steht die Ableitung der Umkehrfunktion! (Und lass dich hier nicht von $x$ bzw $y$ in die irre führen, das sind nur Bezeichnungen für die Variable, hat also nichts mit der gängigen Schreibweise $y=f(x)=...$ zu tun!)
Also das schnellste wird sein [mm] $f^{-1}(1)$ [/mm] einfach zu erraten, ich mein schau dir deine Funktion nochmal genau an und probier einfach ein paar sehr einfache reelle Zahlen aus. Da die Funktion wachsend ist, siehst du ja auch wo du hinmusst, falls du daneben liegst.
Für [mm] $(f^{-1})'(1)$ [/mm] (man beachte den Unterschied) benutzt du die Formel von Wikipedia.
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