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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Mo 13.06.2005 | | Autor: | aga77kn |
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt. Folgendes:
Ich beschäftige mich gerade mit Wahrscheinlichkeitsmaßem unz Zufallsvariablen. Dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen, für das ich nun ein Beispiel suche, mir aber die Vorgehensweise nicht ganz klar ist:
Ich habe zwei ZVA x und y, die bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P unabhängig sind. Diese sollten nun bezüglich eines Maßes Q abhängig sein. P und Q sind Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem selben messbaren Raum (omega, S).
Fällt jemanden dazu ein Beispiel ein, so das es mir wie Schuppen von den Augen falle?!?
Danke,
Christian
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Hallo!
Folgendes einfaches Beispiel:
Sei $P$ die Gleichverteilung auf [mm] $\Omega:=[0;4]$. $\cal{S}$ [/mm] sei die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] der Borelmengen. Nun definiere zwei Zufallsvariablen:
[mm] $X(\omega)=\begin{cases} 1&\mbox{falls } \omega\in[0;1]\cup[3;4]\\ 0&\mbox{sonst.}\end{cases}$ [/mm] und [mm] $Y(\omega)=\begin{cases} 1&\mbox{falls } \omega\in[0;1]\cup[2;3]\\ 0&\mbox{sonst.}\end{cases}$.
[/mm]
Bezüglich $P$ sind diese ZV unabhängig.
Sei nun $Q'$ die Gleichverteilung auf $[0;2]$. Setze $Q(S):= [mm] Q'(S\cap[0;2])$ [/mm] für [mm] $S\in\cal{S}$. [/mm] Bezüglich dieser Verteilung sind $X$ und $Y$ abhängig. Warum? Weil die Bereiche, in denen $X$ und $Y$ verschieden sind, jetzt Wahrscheinlichkeit $0$ haben... Wenn jetzt [mm] $X(\omega)=1$, [/mm] so folgt sofort [mm] $Y(\omega)=1$, [/mm] d.h. $Q(Y=1|X=1)=1$, aber [mm] $Q(Y=1)=\bruch [/mm] 12$...
Ich hoffe, dass das Beispiel anschaulich genug ist...
Gruß, banachella
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