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| Aufgabe | [mm] (\Omega,P) [/mm] ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] X_i:\Omega\to \Omega'_i, [/mm] i=1,...,n unabhängige Zufallsvariablen.
a) [mm] I\subset{1,2,...,n} [/mm] mit [mm] #I\ge [/mm] 2
Zeige: Die Zufallsvariablen [mm] X_i, i\in [/mm] I sind unabhängig.
[mm] b)g:\Omega'_1x...\Omega'_m\to \Omega^n (1\le [/mm] m<n) eine beliebige Abbildung.
Zeige: [mm] g(X_1,...,X_m), X_{m+1},...,X_n [/mm] sind unabhängig
(Tipp: Summieren sie über die Faser [mm] g^{-1}(y), y\in\Omega^n) [/mm] |
Ich verstehe bei dieser Aufgabe nur Bahnhof. Könnt ihr mir vielleicht erklären was ich hier wie machen muss oder vielleicht einen Lösungsansatz posten?
Das wäre sehr nett!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mo 19.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zu a) Hier ist zu zeigen: Wenn [mm] $X_{j_1},\dots,X_{j_k}$ [/mm] eine Auswahl von mindestens zwei Zufallsvariablen der Menge [mm] $\{X_1,\dots,X_n\}$ [/mm] ist, so sind auch diese Zufallsvariablen unabhaengig.
Zu zeigen ist also [mm] $P(X_{j_1}=x_{j_1},\dots,X_{j_k}=x_{j_k})=P(X_{j_1}=x_{j_1})\times\dots\times P(X_{j_k}=x_{j_k})$ [/mm] fuer alle [mm] $x_{j_1}\in\Omega_{j_1}',\dots,x_{j_k}\in\Omega_{j_k}'$ [/mm] ...
vg Luis
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Das verstehe ich irgendwie nicht.
ich weiß nicht wie ich folgendes zeigen muss:
> Zu zeigen ist also
> [mm]P(X_{j_1}=x_{j_1},\dots,X_{j_k}=x_{j_k})=P(X_{j_1}=x_{j_1})\times\dots\times P(X_{j_k}=x_{j_k})[/mm]
> fuer alle
> [mm]x_{j_1}\in\Omega_{j_1}',\dots,x_{j_k}\in\Omega_{j_k}'[/mm] ...
Kannst du mir das nochmal erklären? Ich habe schon mein Skript gewälzt aber ich verstehe es trotzdem noch nicht.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 19.12.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Kannst du mir das nochmal erklären? Ich habe schon mein
> Skript gewälzt aber ich verstehe es trotzdem noch nicht.
>
Du musst ausnutzen, dass [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] unabhaengig sind. Es gilt
$ [mm] P(X_{j_1}=x_{j_1},\dots,X_{j_k}=x_{j_k})=\sum P(X_{1}=x_1,\dots,X_{n}=x_{n}) [/mm] $, wobei sich die Summe sich ueber alle [mm] $x_{j_r}$ [/mm] erstreckt, wo [mm] $j_r$ [/mm] nicht zu [mm] $j_1,\dots,j_k$ [/mm] gehoert.
Beispiel
[mm] $P(X_1=x_1,X_3=x_3)=\sum_{x_2,x_4} P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,X_4=x_4)$.
[/mm]
vg Luis
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Wieso ist das jetzt die Summe? hattest du nicht vorher das Produkt?
Sorry, aber irgendwie steige ich bei der Aufgabe überhaupt nicht durch...tut mir echt leid!
mathegirl
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Könnt ihr mir helfen die Aufgabe zuende zu bringen?
Ich würde es echt gerne verstehen!
MfG
mathegirl
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Hallo mathegirl,
> Wieso ist das jetzt die Summe? hattest du nicht vorher das Produkt?
luis schrieb:
> $ [mm] P(X_1=x_1,X_3=x_3)=\sum_{x_2,x_4} P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,X_4=x_4) [/mm] $.
Hierbei sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] fest. Bei der Summe auf der rechten Seite sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] immer noch fest (klar!) und die Werte der anderen Zufallsvariablen [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_4 [/mm] sind für die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X_1=x_1,X_3=x_3) [/mm] im wahrsten Sinne des Wortes egal. Deswegen kann man die Partition nehmen, die aus allen elementaren Kombinationen der Werte von [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_4 [/mm] besteht.
Nach der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt dann obige Formel.
Das funktioniert ganz allgemein mit der von luis angegebenen Formel. Bei dieser muss du auf der rechten Seite nur noch die Def. der Unabhängigkeit anwenden.
Dann steht es schon fast da.
LG
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