unabhängigkeit der komplemente < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 22.05.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich habe versucht mir zu überlegen, ob die Komplemente zweier stochastisch unabhängigen Ereignisse wieder unabhängig sind (und auch ob ein Ereignis zu dem Komplement des anderen unabhängig ist)
ich würde sagen, es gibt auf jeden Fall Ereignisse wo das der Fall ist. Aber ist es immer so?
ich glaube schon, aber ich bin mir nicht sicher
vielen Dank für euere Antworten
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Naja, mit naiver Mengenlehre kannst du dir das überlegen:
Du hast dann:
[mm]A,B \subset \Omega, A \cap B = \emptyset[/mm]
Du betrachtest:
[mm]A^c \cap B^c = (A \cup B)^c[/mm]
Naja, [mm](A\cup B)^c = \emptyset[/mm] gilt genau dann, wenn [mm](A\cup B) = \Omega[/mm]
Und damit hast du:
[mm] A \cup B = \Omega [/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset[/mm]
Und das gilt nur, wenn [mm]A^c = B[/mm]
Ergo: Die Komplemente zweier unabhängigen Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn A und B zusammen das sichere Ereignis bilden.
MfG
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 22.05.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Aber ich meinte schon Ereignisse die auch beide gleichzeitig eintreten können:
mit
P(A) * P(B) = P(A [mm] \cap [/mm] B)
und sind nun die Komplemente immer auch stochastisch unabhängig?
ich würde so argumentieren
[mm] P(A^c) [/mm] = 1 - P(A)
[mm] P(B^c) [/mm] = 1 - P(B)
[mm] P(A^c \cap B^c) [/mm] = P((A [mm] \cup B)^c)
[/mm]
und dann
[mm] P(A^c) [/mm] * [mm] P(B^c) [/mm] = (1 - P(A)) * (1 - P(B)) = 1 - P(B) - P(A) + P(A)*P(B) = 1 - ( P(B) + P(A) - P(A [mm] \cap [/mm] B) ) = 1 - P(A [mm] \cup [/mm] B) = P((A [mm] \cup B)^c)
[/mm]
also sind die Komplemente, zweier unabhängiger Ereignisse auch immer unabhänig. richtig ??????????????
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Do 22.05.2008 | | Autor: | vivo |
ja schon, aber ich finde es intuitiv ein bisschen uneingehend, dass es dann ja keine Ereignisse gäbe, die stochastisch unabhängig sind, deren Komplemente aber nicht.
und wie siehts jetzt im mehrdimensioanlen aus, kann man von dem obigen darauf schließen, dass es auch bei vielen Ereignissen so ist, dass die Komplemente unabhänigig sind wenn es die Erignisse sind?
vielen Dank
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 09.06.2008 | | Autor: | stimo59 |
Hallo!
Ich poste das mal hier rein, weil meine Aufgabe sehr ähnlich ist.
Ich hab schon ne Zeitlang rumgerechnet aber drehe mich irgendwie nur im Kreis. Ich soll zeigen, dass bei unabhängigen Ereignissen A und B auch das Komplement von A und B unabhängig sind. Soweit bin ich gekommen:
[mm] P(A^c)*P(B) [/mm]
= (1-P(A))*P(B)
= P(B)-P(A)*P(B)
= P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
und dann weiß ich nicht weiter. Ich würde mich sehr über einen Hinweis freuen, wie es nun weitergehen könnte.
Gruß, Timo
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> Hallo!
> Ich poste das mal hier rein, weil meine Aufgabe sehr
> ähnlich ist.
> Ich hab schon ne Zeitlang rumgerechnet aber drehe mich
> irgendwie nur im Kreis. Ich soll zeigen, dass bei
> unabhängigen Ereignissen A und B auch das Komplement von A
> und B
verstehe ich richtig: [mm] A^c [/mm] und B (nicht etwa [mm] A^c [/mm] und [mm] B^c [/mm] ?)
> unabhängig sind. Soweit bin ich gekommen:
>
> [mm]P(A^c)*P(B)[/mm]
> = (1-P(A))*P(B)
> = P(B)-P(A)*P(B)
> = P(B)-P(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> und dann weiß ich nicht weiter. Ich würde mich sehr über
> einen Hinweis freuen, wie es nun weitergehen könnte.
>
> Gruß, Timo
>
Ich nehme jetzt an, dass es um die Unabhängigkeit von [mm] A^c [/mm] und B geht.
Dann wäre doch zu zeigen, dass
[mm]P(A^c)*P(B)=P(A^c\cap B)[/mm] ist.
Du bist schon fast so weit, denn
[mm]\ P(B)-P(A \cap B) = P(B \backslash A) =P(B \cap A^c)= P(A^c\cap B)[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 10.06.2008 | | Autor: | stimo59 |
Super, danke Dir!
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