unbek. k; k+1, maximale Fläche < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
| Aufgabe | Für Werbezwecke wird ein Mobile konstruiert. Seine (etwas surrealistische) Form wird wie folgt bestimmt:
Die linke Fläche wird begrenzt durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = -x² + 4x - 3 und den beiden Achsen; die rechte Fläche liegt zwischen dem Graphen und der x-Achse.
a) Zeige dass das Mobile waagerecht hängt, wenn man es an der linken Nullstelle aufhängt!
b) Auf der rechten Fläche soll nun ein 1Einheit breiter, senkrechter Streifen farbig makiert werden. Berechne den Flächeninhalt dieses Streifens in Abhängigkeit von der Lage! (Anleitung: Der senkrechte Streifen wird durch die beiden Geraden x = k und x = k+1 (1 kleiner gleich k größer gleich 4) eingeschlossen.)
c) Für welches k wird der in b) berechnete Flächeninhelt maximal? (Man kann zwar durch Überlegung die Lösung finden; diese Lösung muss aber rechnernisch nachgewiesen werden.) |
Diese Aufgabe bekamen wir von unserem Mathelehrer und haben bereits a und b gelöst. Nur bei c hängt es tierisch und wir kommen einfach nicht auf den rechnerischen Nachweis.
Wir wissen, dass der Streifen die maximale Fläche abdeckt, wenn wir den Streifen bei 1,5 anlegen, da er dann bis 2,5 geht und der Extrempunkt, also die höchste Stelle 2 genau in der Mitte liegt. Demzufolge kann nur 1,5 das k und 2,5 das k+1 sein. Nur wie weist man das rechnerisch nach?
Wenn ich einfach das Integral von k bis k+1 nehme und das Ergebnis in die PQFormel eingebe, komme ich bei keinem der beiden möglichen x auf 1,5.
Offenbar reicht es nicht, wenn ich einfach die Fläche berechne, also Integral von 1,5 bis 2,5 ausrechne und dann belege, dass die Fläche an anderer Stelle, also in nem anderen Integral, kleiner ist.
Es wäre klasse wenn mir jemand helfen könnte, da dies wirklich dringend ist :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
die Formel für die Fläche lautet:
[mm] F = \integral_{k}^{k+1}{-x^{2} +4x-3 dx} [/mm]
Du löst das Integral und erhälst in Funktion F(k). Von dieser Funktion ermittelst du das Maximum.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Hallo,
erstmal danke für die Reaktion :) Dann ist das Problem, dass ich genau das gemacht habe.
Ich hab die "Aufleitung" gebildet und das Integrad errechnet. also
- 1/3 x3 + 2x - 3x in einem Intervall von k bis k+1
Heraus kam dann k² + 3k - 4/3
Damit habe ich die Funktion die ich dann in die pq-Formel eingesetzt habe um an k heranzukommen. Das Problem ist, dass ich als Ergebnisse folgendes herausgebkommen habe:
x1 = -3/2 + [mm] \wurzel{2,25 + 4/3} [/mm] = 0,3929
x1 = -3/2 - [mm] \wurzel{2,25 + 4/3} [/mm] = - 3,3929
Und nicht das gesuchte k 1,5 woraus ich dann den Beweis ziehen könnte dass die Fläche von 1,5 - 2,5 maximal ist.
Woran liegt es, dass ich k=1,5 nicht rausbekomme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
Du hast wohl die Nullstellen von f(k) ermittelt. Du mußt aber nach f'(k)=0 suchen.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
wenn ich f(k)=0 rechne... kommen dann nicht die Nullstellen des Graphen raus? Weil die hab ich ja schon, oder bin ich jetzt auf dem Holzweg?
Entschuldige die vielen 'blöden' Fragen aber ich bin ein echter Mathedummi :)
***
Okay ich hab jetzt mal f(k)=0 gerechnet, also:
f(k) = -k² + 4k - 3 = 0
da bekomme ich dann raus
x1 = 0,645
x2 = - 4,645
also auch keine 1,5...
bin ich vielleicht auf dem falschen Dampfer zu denken, dass da irgendwann 1,5 rauskommen muss, weil das überlegte k ja bei 1,5 anliegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
mit f(k) =0; bekommst du schon die Nullstellen raus. Nur brauchst du die hier nicht.
Du must den k-Wert finden bei dem die Fläche (das Integral) maximal wird.
Und das Maximum einer Funtion findest du, indem du die 1.Ableitung der Funktion 0 setzt also f'(k) = 0; f'' muß dann von Null verschieden sein.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Uhje ich fürchte das ist zu hoch für mein beschränktes Mathehirn. Wenn ich die erste Ableitung 0 setze...
Bei -x² + 4x -3 wäre das doch dann -2x + 4 = 0 oder?
Dann wäre die Nullstelle die rauskommt 2. Das wäre also die Stelle wo der Extrempunkt ist. Aber das wusste ich ja schon :) Nur wie komm ich jetzt an k? Weil k kann ja nicht 2 sein oder? Weil dann wäre die Fläche ja nicht maximal, wenn die Extremstelle 2 die Scheitelstelle ist, wo es zu beiden Seiten gleichmäßig wieder runter geht *kopfkratz* oder lieg ich voll falsch?
Die in b) berechnete Fläche ist doch der 1Einheit breite Streifen oder? Nicht dass ich die ganze Zeit alles falsch verstehe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
du must das Maximum von der Funktion
[mm] F(k) = k^{2} +3k -4/3 [/mm]
suchen, weil diese Funktion den Flächeninhalt zwischen k und k+1 angibt. Und der Flächeninhalt soll ja maximal werden.
also: F'(k)=0;
Ich hab F(k) noch nicht auf "richtig" überprüft. Möglicherweise ist ein Vorzeichenfehler drin. Wirst schon sehen, wenn du F'(k)=0 ausrechnest.
Ich rechne in der Zwischenzeit mal das Integral nach.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Etwas Verwirrung... F'(k) ist doch das gleiche wie f(k) oder?
Ich ging davon aus dass die "Aufleitung" von f(k) dann F(k) ist...
Und wenn F'(k) = f(k) ist und ich das = 0 setzen soll, kommt wie gesagt 0,645 und - 4,645 raus, womit ich irgendwie nix anfangen kann...
Und ich muss ja nicht "nur" das Maximal herausbekommen, sondern k, danach wird ja in der Aufgabe gefragt. Im Moment versteh ich leider nur böhmische Dörfer ;-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
ich wollte keine Verwirrung stiften;
Du hast als Formel für die Fläche (abhängig von k) ermittelt (ich nenne sie jetzt g(k)):
[mm]g(k)= k^{2} +3k -4/3 [/mm]
richtig wäre:
[mm]g(k)= -k^{2} +3k -4/3 [/mm]
Nun suchen wir den Wert, für den diese Funktion ein Maximum annimmt. Dazu bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese 0
[mm]g'(k)=0: -2k +3 =0 [/mm]
Nun musst du nach k auflösen.
Um sicherzustellen, das ein Maximum vorliegt bilden wir die 2 Ableitung:
[mm]g''(k)= -2 < 0 [/mm]
Also liegt in der Tat in Maximum vor.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Ahhh na das sieht doch gut aus :))
Eine kleine Frage hab ich jedoch noch, wenn sie auch banal erscheint :) Warum nehmen wir von der Funktion die 1. Ableitung um an k zu kommen. Ist das einfach so oder steckt da ein tieferer Sinn hinter? Wäre gut zu wissen um erklären zu können, warum 'ich' das so gemacht habe, wenn gefragt wird :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 28.03.2007 | | Autor: | nsche |
Es gibt einen Satz, wie man das Maximum/Minimum einer Funktion finden kann:
Man bildet die 1. Ableitung der Funktion und sucht die Nullstellen dieser Ableitung.
Man bildet die 2. Ableitung der Funktion.
Ist die 2. Ableitung an den Stellen, an denen die erste Ableitung Null ist, von Null verschieden, hat die Funktion an diesen Stellen einen Extremwert.
Ist der Wert der 2. Ableitung an dieser Stelle >0 liegt ein Minimum vor, ist er < 0 gibt es ein Maximum.
So ist das halt 
vG
Norbert
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Du musst aufpassen, dass du nicht alles durcheinander wirfst!
Zunächst hast du irgendeinen Streifen der Breite 1 zwischen x=k und x=k+1 per Integral berechnet. Dazu hast du die Stammfunktion gebildet und k+1 sowie k eingesetzt. Dein Ergebnis hat noch einen Vorzeichenfehler, es kommt - [mm] k^{2}+3k-4/3 [/mm] heraus.
Damit hast du den Wert eines beliebigen Streifens berechnet, der bei x=k anfängt und bei x=k+1 wieder aufhört. (Nebenbei: Wenn bei diesem Streifen ein Teil des Graphen unterhalb der x-Achse liegt, zählt das Integral die Fläche als negativ.)
Nun sollst du herausfinden, bei welchem k (=linker Streifenrand) eine maximale Fläche entsteht. Dazu musst du den Ausdruck - [mm] k^{2}+3k-4/3 [/mm] nach k ableiten und die Ableitung 0 setzen. Du musst in diesem Moment also vergessen, wie das Ganze entstanden ist, und - [mm] k^{2}+3k-4/3 [/mm] als völlig neue Funktion auffassen, deren Max. gesucht wird. Du erhältst -2k+3 = 0 und damit k=1,5. Die 2. Ableitung zeigt dir dann, dass es ein Max. und kein Min. ist.
Wenn du dann in - [mm] k^{2}+3k-4/3 [/mm] noch k=1,5 einsetzt, bekommst du den max. Flächeninhalt heraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Hiho,
auch dir erstmal danke :))
Also wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich die Funktion die ich beim integral von k bis k+1 herausbekommen habe, also $ [mm] k^{2}+3k-4/3 [/mm] $ ableiten und 0 setzen, damit ich an k komme?
und die Zweite Ableitung wäre dann -2 (oder?), warum sagt mir eine negative Zahl, dass es ein Maximum ist?
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Hallo,
zur Bedeutung der verschiedenen Ableitungen:
f´(k) zeigt dir die Steigung der Funktion f(k) an. Deswegen heißt ja auch, dass dort wo f´(k) eine Nullstelle hat, de Funktion f(k) die Steigung o besitzt (waagerechte Tangente).
Dies ist ja jedoch nur ein HINWEIS auf lokale Extrema. (es könnte ja auch ein Sattelpunkt sein, der ja auch eine waagerechte Tangente hat)
f´´(k) gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen.
Ist f''(k) > 0, wird die Steigung größer.
Die Kurve ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt, konvex).
Wenn an der selben Stelle k f´(k)=0 ist heißt also wenn f´´(k)>0, dass wir ein lokales MINIMUN haben (die Steigung von f(k) ist negativ, beim Annähern an den Extrempunkt nähert sie sich 0 an ( wird größer) nach dem Extrem wird sie positiv (also weiterhin größer)
Ist f''(k) < 0, wird die Steigung kleiner.
Die Kurve ist daher rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt, konkav).
Wenn an der selben Stelle k f´(k)=0 ist heißt also wenn f´´(k)<0, dass wir ein lokales MAXIMUN haben (die Steigung von f(k) ist positiv, beim Annähern an den Extrempunkt nähert sie sich 0 an ( wird kleiner) nach dem Extrem wird sie negativ (also weiterhin kleiner)
ch hoff es ist klar geworden....
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Lakeesha |
Ein großes Dankeschön an die fleißigen und vor allem geduldigen Helfer :) Meine Fragen sind beantwortet und ich glaube sogar etwas verstanden zu haben *freu*
Einen schönen Abend noch und großes Danke an alle *blümchen rumreich* :)
Jessica
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