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Forum "Integration" - unbestimmtes Integral (1/cos)
unbestimmtes Integral (1/cos) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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unbestimmtes Integral (1/cos): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Di 17.01.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
[mm] $\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}$ [/mm]



Also ich habe folgendes probiert:
Da [mm] $cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)$: [/mm]
[mm] $cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})$ [/mm]
und da:
[mm] $cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1$: [/mm]
[mm] $\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}$ [/mm]
Nun erweitere ich mit [mm] $\bruch{1}{cos^2(x)}$: [/mm]
[mm] $=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}$ [/mm]
Jetzt kann ich ja [mm] $tan(\bruch{x}{2})$ [/mm] substituieren.
Dann erhalte ich:
[mm] $\bruch{1+t^2}{1-t^2}$ [/mm]
Somit habe ich [mm] $t=tan(\bruch{x}{2})$ [/mm]
also:
[mm] $dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx$ [/mm]
Und somit:
[mm] $dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt$ [/mm]
Stimmt das so?
Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.

Vielen Dank

LG
Dudi


        
Bezug
unbestimmtes Integral (1/cos): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Di 17.01.2012
Autor: MathePower

Hallo DudiPupan,


> Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
>  [mm]\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm]
>  
>
> Also ich habe folgendes probiert:
>  Da [mm]cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)[/mm]:
>  [mm]cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})[/mm]
>  und da:
>  [mm]cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1[/mm]:
>  
> [mm]\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  Nun erweitere ich mit [mm]\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]:
>  
> [mm]=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  Jetzt kann ich ja [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] substituieren.
>  Dann erhalte ich:
>  [mm]\bruch{1+t^2}{1-t^2}[/mm]
>  Somit habe ich [mm]t=tan(\bruch{x}{2})[/mm]
>  also:
>  [mm]dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx[/mm]
>  Und somit:
>  [mm]dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt[/mm]
>  Stimmt das so?


Ja.


>  Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.
>


Es ist doch:

[mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]

Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:

[mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]


> Vielen Dank
>  
> LG
>  Dudi

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
unbestimmtes Integral (1/cos): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Di 17.01.2012
Autor: DudiPupan


> Hallo DudiPupan,
>  
>
> > Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
>  >  [mm]\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm]
>  >  
> >
> > Also ich habe folgendes probiert:
>  >  Da [mm]cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)[/mm]:
>  >  [mm]cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})[/mm]
>  >  und da:
>  >  [mm]cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1[/mm]:
>  >  
> >
> [mm]\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  >  Nun erweitere ich mit [mm]\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]:
>  >  
> >
> [mm]=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  >  Jetzt kann ich ja [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] substituieren.
>  >  Dann erhalte ich:
>  >  [mm]\bruch{1+t^2}{1-t^2}[/mm]
>  >  Somit habe ich [mm]t=tan(\bruch{x}{2})[/mm]
>  >  also:
>  >  [mm]dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx[/mm]
>  >  Und somit:
>  >  [mm]dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt[/mm]
>  >  Stimmt das so?
>  
>
> Ja.
>  
>
> >  Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.

>  >

>
>
> Es ist doch:
>  
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  
> Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
>  
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)




Aaah, okay, dann erhalte ich:

$dx=\bruch{2}{1+t^2}dt$
also:

$\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du$

Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins stolpern...

Vielen Dank!

>  
>
> > Vielen Dank
>  >  
> > LG
>  >  Dudi
>  >
>  
>
> Gruss
>  MathePower    


Bezug
                        
Bezug
unbestimmtes Integral (1/cos): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Di 17.01.2012
Autor: MathePower

Hallo DudiPupan,

> >
> >
> > Es ist doch:
>  >  
> > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  >  
> > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
>  >  
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
>  
>
> Aaah, okay, dann erhalte ich:
>  
> [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
>  also:
>  
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]


> Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> stolpern...
>  


Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des Integranden,
und integrierst anschliessend.


> Vielen Dank!
>  
> >  

> >
> > > Vielen Dank
>  >  >  
> > > LG
>  >  >  Dudi
>  >  >
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower    

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
unbestimmtes Integral (1/cos): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Di 17.01.2012
Autor: DudiPupan


> Hallo DudiPupan,
>  
> > >
> > >
> > > Es ist doch:
>  >  >  
> > > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  >  >  
> > > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
>  >  
> >
> > Aaah, okay, dann erhalte ich:
>  >  
> > [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
>  >  also:
>  >  
> > [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
>  >  
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>  
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]
>  

Oh ja, entschuldigung - kleiner Tippfehler


>
> > Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> > stolpern...
>  >  
>
>
> Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des
> Integranden,
>  und integrierst anschliessend.
>  

Also folgendermaqßen:
[mm] $\bruch{A}{1+t}+\bruch{B}{1-t}=\bruch{A((1-t)+B(1+t)}{(1+t^2)}=\bruch{t(B-A)+A+B}{1-t^2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow A=\bruch{1}{2}$ [/mm]
[mm] $B=\bruch{1}{2}$ [/mm]
somit:
[mm] $\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}$ [/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm] $\integral{\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}dt}=\integral{\bruch{1}{1-t}dt}+\integral{\bruch{1}{1+t}dt}=-ln|1-t|+ln|1+t|=-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|+ln|1+tan(\bruch{x}{2})|=ln|1+tan(\bruch{x}{2})|-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{1+tan(\bruch{x}{2})}{1-tan(\bruch{x}{2})}$ [/mm]
Stimmt das??

>
> > Vielen Dank!
>  >  
> > >  

> > >
> > > > Vielen Dank
>  >  >  >  
> > > > LG
>  >  >  >  Dudi
>  >  >  >
>  >  >  
> > >
> > > Gruss
>  >  >  MathePower    
> >
>  
>
> Gruss
>  MathePower  


Bezug
                                        
Bezug
unbestimmtes Integral (1/cos): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Di 17.01.2012
Autor: MathePower

Hallo DudiPupan,

> > Hallo DudiPupan,
>  >  
> > > >
> > > >
> > > > Es ist doch:
>  >  >  >  
> > > > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
>  >  >  >  
> > > >
> > >
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Aaah, okay, dann erhalte ich:
>  >  >  
> > > [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
>  >  >  also:
>  >  >  
> > > [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
>  >  >  
> >
> >
> > Hier muss es doch lauten:
>  >  
> >
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]
>  >  
> Oh ja, entschuldigung - kleiner Tippfehler
>  
>
> >
> > > Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> > > stolpern...
>  >  >  
> >
> >
> > Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des
> > Integranden,
>  >  und integrierst anschliessend.
>  >  
>
> Also folgendermaqßen:
>  
> [mm]\bruch{A}{1+t}+\bruch{B}{1-t}=\bruch{A((1-t)+B(1+t)}{(1+t^2)}=\bruch{t(B-A)+A+B}{1-t^2}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow A=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]B=\bruch{1}{2}[/mm]
>  somit:
>  
> [mm]\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}[/mm]


Hier hast Du Klammern vergessen:

[mm]\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\left\blue{(}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}\right \blue{)}[/mm]


>  Daraus ergibt sich dann:
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}dt}=\integral{\bruch{1}{1-t}dt}+\integral{\bruch{1}{1+t}dt}=-ln|1-t|+ln|1+t|=-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|+ln|1+tan(\bruch{x}{2})|=ln|1+tan(\bruch{x}{2})|-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{1+tan(\bruch{x}{2})}{1-tan(\bruch{x}{2})}[/mm]
>  Stimmt das??
>  


Ja.


> >
> > > Vielen Dank!
>  >  >  
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> > > > > Vielen Dank
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