uneig. Parameterintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:31 Sa 29.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | (i)
Zeigen Sie, dass man die Funktion [mm] f(t)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-tx} dx}=\bruch{1}{t} [/mm] (t>0) beliebig oft unter dem Integral differenzieren kann und leiten Sie daraus die Formel [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^ne^{-x} dx}=n! [/mm] her.
(ii)
Zeigen Sie: [mm] \limes{k\to\infty}\integral_{0}^{k}x^n(1-\bruch{x}{k})^k=n! [/mm] |
Zu (i)
Ich möchte zunächst einmal zeigen, dass f(t) unter dem Integral differenzierbar ist (dass das dann sogar beliebig oft möglich ist, schiebe ich erstmal nach hinten, das zeigt man dann ja induktiv):
Es handelt sich hier wohl um ein uneigentliches Parameterintegral. Nach diesem Link
http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/metkap9.pdf
(Seite 10 ff.)
muss ich für meine Aufgabe jetzt Folgendes zeigen:
1. [mm] f(x,t)=e^{-tx} [/mm] ist stetig partiell nach t differenzierbar
[Meine Idee hierzu:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial t}(x,t)=-e^{-tx}*x=-f(x,t)*x [/mm] und dies ist ein Produkt aus zwei stetigen Funktionen, also selbst stetig]
2. [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\partial f}{\partial t}(x,t) dt} [/mm] konvergiert gleichmäßig, d.h.
a) [mm] |\bruch{\partial f}{\partial t}(x,t)|\leq [/mm] g(x), g stetige Funktion
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{g(x) dx} [/mm] konvergiert bzw. existiert.
[Meine Ideen zu a), b):
[mm] |-e^{-tx}*x|=e^{-tx}*|x|\leq e^{-x}*|x|=:g(x), [/mm] g ist eine stetige Funktion
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}g(x)=1 [/mm] ]
Demnach wäre f(t) unter dem Integral differenzierbar.
Um nun zu zeigen, dass dies sogar beliebig oft funktioniert, habe ich mir mehrere Ableitungen angesehen und habe allgemein festgestellt, dass gilt:
[mm] f^{(n)}=\integral_{0}^{\infty}{\pm e^{-tx}*x^n dx}
[/mm]
Das heißt, es wechselt immer nur das Vorzeichen von [mm] e^{-tx} [/mm] und die Potenz von x steigt um eine Einheit an.
Diese Formel könnte man doch jetzt per Induktion über n beweisen.
Induktionsanfang ist n=1, also die erste Ableitung, die ja bereits gezeigt ist.
Angenommen die Formel gelte bis zur n-ten Ableitung.
Induktionsschritt: n+1
Ich würde sagen, es gilt:
[mm] f^{(n+1)}=\integral_{0}^{\infty}{\pm e^{-tx}*x^n*x dx}.
[/mm]
Und wenn man jetzt wieder die obigen Kriterien für die Differenzierbarkeit unter dem Integral durchgeht, so sind diese m.E. alle erfüllt:
Der Integrand ist stetig, da nach Induktionsvoraussetzung [mm] \pm e^{-tx}*x^n [/mm] stetig ist und ebenso x.
Als g(x) kann man [mm] e^{-x}*x^{n+1} [/mm] verwenden.
Das uneigentliche Integral mit diesem g(x) existiert.
Meine Induktion wäre damit schon beendet.
Jetzt bliebe noch übrig, die Formel [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^ne^{-x} dx}=n! [/mm] herzuleiten.
Dazu habe ich mir Folgendes überlegt.
Da ja nun gezeigt ist, dass man f(t) beliebig oft unter dem Integral differenzieren kann, existiert zum Integranden von [mm] f^{(n)}=\integral_{0}^{\infty}{\pm e^{-tx}x^n dx}, [/mm] also zu [mm] \pm e^{-tx}x^n, [/mm] eine Funktion [mm] g(x):=e^{-x}*x^n [/mm] mit [mm] |\pm e^{-tx}x^n|\leq [/mm] g(x), da dies ja Voraussetzung dafür ist, dass man nun die (n+1)-te Ableitung unter dem Integral bilden könnte.
Wenn man [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}x^n dx} [/mm] partiell integriert, so erhält man nach meiner Rechnung:
[mm] [-e^{-x}*x^n]_0^{\infty}+ [/mm] n* [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}*x^{n-1} dx}
[/mm]
Wenn man nun hier weiterrechnet und das Integral wieder partiell integriert, erhält man insgesamt:
[mm] n*(n-1)*\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}*x^{n-2} dx} [/mm] und so würde man weitermachen, bis im Integranden [mm] x^0 [/mm] stünde, d.h. der Integrand wäre nur noch [mm] e^{-x}. [/mm] Das Integral strebt dann gegen 1.
Am Ende hat man also n! erzielt.
[Vielleicht liege ich damit ja richtig.]
Nun zu (ii):
Dies kann man doch sehr leicht mit (i) zeigen, richtig?
Und zwar gilt ja
[mm] e^{-x}=exp(-x)=\limes_{k\to\infty}(1-\bruch{x}{k})^k=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}.
[/mm]
Demnach gilt doch sofort:
[mm] \lim_{k\to \infty}\integral_{0}^{k} x^n(1-\bruch{x}{k})^k=\integral_{0}^{\infty}x^ne^{-x}=n! [/mm] [nach der hergeleiteten Formel in (i).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 29.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Leider ists ein bisschen ausführlicher geworden, ich hoffe, dass trotzdem jemand die Geduld hat, es mal anzusehen und mir ein Feedback zu geben.
Danke!
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Huhu,
da ich gerade nicht so fit bin was Ableitungen unterm Integral angeht (allerdings seh ich auch keinen fundamentalen Fehler bisher) erstmal nur Hinweise zum Rest der Aufgabe:
> Jetzt bliebe noch übrig, die Formel $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^ne^{-x} dx}=n! [/mm] $ herzuleiten.
Hier machst du es dir viel zu umständlich.
Es gilt doch: $ [mm] f(t)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-tx} dx}=\bruch{1}{t} [/mm] $
Nun differenzier mal beide Seiten bis zum Grad n durch und Werte die Ableitung an der Stelle t=1 aus, dann steht da was? 
> Demnach gilt doch sofort:
> $ [mm] \lim_{k\to \infty}\integral_{0}^{k} x^n(1-\bruch{x}{k})^k=\integral_{0}^{\infty}x^ne^{-x}=n! [/mm] $ [nach der hergeleiteten Formel in (i).
Hm, leider nein. Wenn du das so begründest, dann machst du aus einem Grenzpozess zwei.
Oder anders ausgedrückt: Du kannst die Integralgrenze nicht unabhängig von der Potenz gegen unendlich laufen lassen!
Analog wäre das so, als wenn man sagen würde
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] (1+0)^{\lim_{n\to\infty}n} [/mm] = 1$
Eine andere Begründung die dagegen spricht, wäre auch noch, dass du Grenzwerte vertauschst, nämlich der Grenzwert, der das Integral darstellt.
Also ohne weitere Begründung kannst du das eben leider nicht so machen.
Musst du dir eine andere Begründung einfallen lassen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 30.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hier machst du es dir viel zu umständlich.
> Es gilt doch: [mm]f(t)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-tx} dx}=\bruch{1}{t}[/mm]
>
> Nun differenzier mal beide Seiten bis zum Grad n durch und
> Werte die Ableitung an der Stelle t=1 aus, dann steht da
> was?
Danke für den Hinweis! Also Folgendes:
1. Ableitung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{-e^{-tx}*x dx}=\bruch{-1}{t^2}
[/mm]
2. Ableitung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-tx}*x^2 dx}=\bruch{2}{t^3}
[/mm]
3. Ableitung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{-e^{-tx}*x^3 dx}=\bruch{-6}{t^4}
[/mm]
.
.
.
n-te Ableitung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\pm e^{-tx}*x^n dx}=\pm \bruch{n!}{t^{n+1}}
[/mm]
Wertet man das nun aus für t=1, erhält man:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\pm e^{-x}*x^n dx}=\pm [/mm] n!, also die gesuchte Formel, wobei man das [mm] \pm [/mm] eigentlich auch weglassen kann.
>
> > Demnach gilt doch sofort:
>
> > [mm]\lim_{k\to \infty}\integral_{0}^{k} x^n(1-\bruch{x}{k})^k=\integral_{0}^{\infty}x^ne^{-x}=n![/mm]
> [nach der hergeleiteten Formel in (i).
>
> Hm, leider nein. Wenn du das so begründest, dann machst du
> aus einem Grenzpozess zwei.
> Oder anders ausgedrückt: Du kannst die Integralgrenze
> nicht unabhängig von der Potenz gegen unendlich laufen
> lassen!
>
> Analog wäre das so, als wenn man sagen würde
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n = (1+0)^{\lim_{n\to\infty}n} = 1[/mm]
>
> Eine andere Begründung die dagegen spricht, wäre auch
> noch, dass du Grenzwerte vertauschst, nämlich der
> Grenzwert, der das Integral darstellt.
>
> Also ohne weitere Begründung kannst du das eben leider
> nicht so machen.
> Musst du dir eine andere Begründung einfallen lassen
Es wäre wohl auch zu einfach gewesen!
Ich würde dennoch vermuten, dass die Lösung irgendwie mit der in (i) hergeleiteten Formel zusammenhängt.
Es ist bestimmt kein Zufall, dass dort etwas mit n! hergeleitet werden musste.
Hat es vielleicht mit irgendwelchen Sätzen zu tun, die es erlauben, dass man den Limes unter das Integral zieht?
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 30.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Bei (ii) kann man vielleicht Sätze nutzen, die es erlauben, den Limes unter das Integral zu ziehen?
Denn dann käme man vielleicht auf die in (i) hergeleitete Formel.
[Vielleicht der Satz von der monotonen Konvergenz oder der von der majorisierten Konvergenz?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 So 30.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
wie willst du den Grenzwert ins Integral ziehen, wenn die Integralgrenze vom Grenzwert abhängt??
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 So 30.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich weiß es nicht, es war nur eine spontane Idee, weil mir einfach kein anderer Ansatz für (ii) einfiel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mo 31.01.2011 | | Autor: | eruesso |
Entweder du machst es wie du es bereits oben getan hast: Mit Partieller Integration.
Oder du gebrauchst die Konvergenz des Limes, bzw. des Integrals. Um deinen früheren Schritt zu verifizieren.
Schau dir doch mal die Definition der Gammafunktion an. Wenn's überhaupt noch interessiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Was meinst Du mit "Konvergenz des Limes bzw. des Integrals"? |
Mir ist nicht ganz klar, was Du damit meinst bzw. wie ich das nutzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Was meinst Du mit "Konvergenz des Limes bzw. des Integrals" nutzen? |
Mir ist nicht ganz klar, was Du damit meinst bzw. wie ich das nutzen kann.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:47 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Was meinst Du mit "Konvergenz des Limes bzw. des Integrals nutzen"? |
Mir ist nicht ganz klar, was Du damit meinst bzw. wie ich das nutzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldigung, ich habe aus Versehen mehrfach auf Senden gedrückt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:48 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Kann man vielleicht etwas mit der Leibnizregel anfangen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 31.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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