uneigentlich R-integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 25.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!
Kann mir vielleicht jemand helfen bei der Frage ob
[mm] \integral_{0}^{1}{sin\bruch{1}{x} dx} [/mm] uneigentlich riemann integrierbar ist ? Also die macht ja eigentlich nur bei 0 Probleme und weiß auch dass sie uneigentlich riemann integrierbar ist aber wie zeige ich das?
Genauso frag ich mich wie das bei
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] aussieht
Wär super wenn mir jemand helfen könnte das zu verstehen.
Schonmal danke
lieben gruß tina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo!
> Kann mir vielleicht jemand helfen bei der Frage ob
> [mm]\integral_{0}^{1}{sin\bruch{1}{x} dx}[/mm] uneigentlich riemann
> integrierbar ist ? Also die macht ja eigentlich nur bei 0
> Probleme und weiß auch dass sie uneigentlich riemann
> integrierbar ist aber wie zeige ich das?
> Genauso frag ich mich wie das bei
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm] aussieht
> Wär super wenn mir jemand helfen könnte das zu verstehen.
Für jedes noch so kleine [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert sicher das Integral [mm] $\int_\varepsilon^1\sin(1/x)\; [/mm] dx$. Zudem ist [mm] $|\sin(1/x)|\leq [/mm] 1$. Also können die Limites von Unter- und Obersummen des Gesamtintegrals nicht mehr als [mm] $2\cdot \varepsilon$ [/mm] von [mm] $\int_\varepsilon^1 \sin(1/x)\; [/mm] dx$ entfernt sein. Daraus sollte man auf die Konvergenz von Unter- und Obersummen des Gesamtintegrals gegen denselben Limes und damit auf Riemann-Integrierbarkeit schliessen können.
Bei [mm] $\int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\; [/mm] dx$ ist die Sache entschieden einfacher: denn wegen [mm] $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm] ist diese Funktion an der Stelle $x=0$ stetig fortsetzbar. Wir dürfen den Integranden deshalb als auf dem ganzen Integrationsintervall stetige Funktion auffassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 27.03.2008 | | Autor: | Tina3 |
Danke für die Antwort!
kann ich also sagen(in eigenen Worten), da für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gilt die Funktion ist stetig ist sie auch Riemann-integrierbar für [mm] [\varepsilon,1]. [/mm] Und da [mm] sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
im Betrag kleiner gleich 1 ist kann also auf dem Intervall [mm] [0.\varepsilon] [/mm] die Obersumme höchtens [mm] \varepsilon*1 [/mm] sein und die Untersumme kleinstens [mm] \varepsilon*-1 [/mm] sein. Und somit unterscheidet die Ober- und Untersumme auf dem Intervall [0,1] sich höchstens um [mm] \varepsilon*2 [/mm] und da [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein wird sind Obersumme und Untersumme im Limes gleich weshalb es dann uneigentlich Riemann-integrierbar ist.
Hab ich das jetzt richtig wiedergegeben?oder würd ich ärger bekommen wenn ich das jemanden so sagen würde? 
Und zum zweiten Integral:
Kannst du mir evtl. sagen warum eigentlich [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] gilt?
danke
lieben gruß tina
|
|
|
| |
|
Er wandte den Satz von L'Hospital an. Er besagt folgendes:
Ist [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] oder
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] "\bruch{\infty}{\infty}",
[/mm]
dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Bei dir speziell ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] = [mm] "\bruch{0}{0}", [/mm] also gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\left(\sin(x)\right)'}{(x)'} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\cos(x)}{1} [/mm] = 1.
Warum darf man das einfach machen? Das hat etwas damit zu tun, dass die Ableitungen sich an dem Grenzwert genau so verhalten wie die normalen Funktionen, wenn solch ein Fall [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] oder [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] eintritt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 27.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja deine Antwort ist richtig, nur müsstest dus noch (für ne Klausur etwa) formaler aufschreiben.
Wenn du L'Hopital nicht kennst: einfach die Reihe für sin hinschreiben, nach division durch x bleibt nur 1+ Glieder höherer ordnung von x stehen.
Gruss leduart
|
|
|
|
