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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 25.05.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] \integral_{0}^{ \infty}{lnx/(x^{1/2}+x^{3/2})dx} [/mm] = 0 |
Erst einmal handelt es sich um ein beidseitig uneigentliches Integral. Um zu zeigen dass es konvergiert muss ich dann woll das Integral aufspalten in 2 Teile, muss also zeigen dass die beiden Integrale [mm] \integral_{0}^{1}{} [/mm] bzw. [mm] \integral_{1}^{ \infty}{} [/mm] konvergent sind.
Jetzt hab ich versucht das Integral [mm] \integral_{0}^{ 1}{lnx/(x^{1/2}+x^{3/2})dx} [/mm] aufzulösen mittles der Substitution t = lnx. Das funktioniert aber leider nicht. Hat wer einen weiteren Tipp für mich?
mfg,
Hannes
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Für die Berechnung des Integrals gehe so vor: Substituiere zunächst [mm]x = t^2[/mm], um dich von den Wurzeln zu befreien. Dann sieht das Ganze schon einfacher aus (insbesondere läßt sich die Konvergenz damit leichter nachweisen). Und dann Trick 17: [mm]t = \frac{1}{s}[/mm] substituieren. Dabei entsteht wieder das gesuchte Integral. Das gibt dir eine Gleichung, die du entsprechend auflösen kannst. Du wirst dich über das Ergebnis wundern (oder auch nicht). Übrigens zeigt die Rechnung, daß es genügt, die Konvergenz an der unteren (oder oberen) Grenze zu zeigen. Warum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo...hab mal gemacht was du mir geraten hast:
substituiere: t = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
x = [mm] t^{2}, \bruch{dx}{dt} [/mm] = st, dx = 2t*dt
[mm] \limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{1}{ \bruch{ln t^{2}}{t+t^{3}} * 2t dt} [/mm]
Jetzt kommt Trick 17 (wie kommt man da drauf, lange Erfahrung?):
s = 1/t
t = 1/s
[mm] \bruch{dt}{ds} [/mm] = [mm] -1/s^{2}, [/mm] dt = [mm] -1/s^{2}*ds
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{1}{ \bruch{ln (1/2)^{2}}{1/s + (1/s)^{3}} * 2*1/2*-1/s^{2} ds}
[/mm]
Kürzen ergibt:
[mm] \limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{1} {\bruch{-2*ln(1/s)^{2}}{s^{2}+1}ds}
[/mm]
Was meinst du jetzt mit:
Dabei entsteht wieder das gesuchte Integral. Das gibt dir eine Gleichung, die du entsprechend auflösen kannst.
Anscheinend hab ich irgendwas falsch gemacht....
mfg,
Hannes
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Mach es nicht so kompliziert. Rechtzeitiges Vereinfachen hilft:
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\ln{x}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}}~\mathrm{d}x \ = \ 4 \int_0^{\infty}~\frac{\ln{t}}{1 + t^2}~\mathrm{d}t[/mm]
Und mit [mm]t = \frac{1}{s}[/mm] geht es weiter:
[mm]I = \int_0^{\infty}~\frac{\ln{t}}{1 + t^2}~\mathrm{d}t \ = \ - \int_0^{\infty}~\frac{\ln{s}}{1 + s^2}~\mathrm{d}s \ = \ -I[/mm]
Konvergenzfragen habe ich jetzt außer Acht gelassen: Du sollst ja auch noch etwas zu tun haben ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 28.05.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ich weiß nicht genau wie du auf diesen Audruck kommst.....
$\ 4 [mm] \int_0^{\infty}~\frac{\ln{t}}{1 + t^2}~\mathrm{d}t [/mm] $
Also ich habs so gerechnet und steht schon wieder an:
[mm] \integral_{ \varepsilon}^{1}{lnt^{2}/(t+t^{3}) * 2t dt}
[/mm]
Wenn ich jetzt kürze:
[mm] \integral_{ \varepsilon}^{1}{lnt^{2}/(1+t^{2}) * 2 dt}
[/mm]
Aber das wars dann...also wie kommst du da auf 4 vor dem Integral?
mfg,
Hannes
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Wenn du einmal dein Zwischenergebnis mit meinem vergleichst, dann könntest du doch - vorausgesetzt, wir haben beide richtig gerechnet - zumindest nachträglich erschließen, welche Umformung da vorgenommen wurde.
Komm! Ein bißchen Eigeninitiative!
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