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Forum "Folgen und Reihen" - uneigentliche integrale/reihen
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uneigentliche integrale/reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Di 26.04.2005
Autor: Mikke

Hallo zusammen!

Und zwar habe ich folgendes problem. also man soll zeigen dass das uneigentliche Integral  [mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] dx} konvergent ist. So das prinzip ist klar, denn man kann ja die konvergenz der uneigentlchen integrale beinahe mit der konvergenz von reihen gleichsetzen. Also betrachte ich die die dazugehörige Reihe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{sinx}{x}. [/mm]
aber wie kann ich zeigen dass die se reihe konvergiert?
Wäre lieb wenn mir wer helfen könnte.
gruß mikke

        
Bezug
uneigentliche integrale/reihen: Cauchy-Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 26.04.2005
Autor: Julius

Hallo Mikke!

Der Ansatz über die Reihe bringt hier meines Erachtens nicht viel. Argumentiere lieber über das Cauchy-Kriterium (d.h. zeige, dass es sich um eine Cauchy- (und damit konvergente) Folge handelt.

Für $0<a<b$ liefert eine partielle Integration

[mm] $\left\vert \int\limits_a^b \frac{\sin(x)}{x} \, dx \right\vert [/mm] = [mm] \left\vert \left[ \frac{-\cos(x)}{x} \right]_a^b-\int\limits_a^b \frac{\cos(x)}{x^2}\, dx \right\vert \le \frac{1}{a} [/mm] + [mm] \frac{1}{b} [/mm] + [mm] \int\limits_a^b \frac{1}{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{a} \to [/mm] 0$   ($a [mm] \to \infty$). [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
uneigentliche integrale/reihen: Hmm ... (Rückfrage)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Di 26.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Julius!


Aber ist in der Aufgabenstellung nicht $a \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] ?
Also müßte nicht eine Grenzwertbetrachtung $a \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] vorgenommen werden?

Für den Grenzwert [mm] $\rightarrow [/mm] \ [mm] \red{\infty}$ [/mm] müßte doch die obere Grenze [mm] $\text{b}$ [/mm] betrachtet werden?


Ober habe ich gerade einen Total-Blackout? Dann bitte diesen Artikel gekonnt ignorieren!

Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
uneigentliche integrale/reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:30 Mi 27.04.2005
Autor: Julius

Hallo Loddar!

> Aber ist in der Aufgabenstellung nicht [mm]a \ = \ \red{0}[/mm] ?

Hmmh... darum geht es nicht. Die Existenz des Integrals

[mm] $\int\limits_0^c \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$

ist sowieso klar, da $x [mm] \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] in $0$ durch den Funktionswert $1$ stetig fortsetzbar ist, und eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall immer integrierbar ist.

Um was wir uns also kümmern müssen, ist die Existenz des Integrals

[mm] $\int\limits_c^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$

für ein beliebiges $c>0$.

Wir müssen also für eine beliebige Folge [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=+\infty$ [/mm] zeigen, dass der Grenzwert

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_c^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$

existiert. Dazu genügt es aber zu zeigen, dass

[mm] $\left( \int\limits_c^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, dx \right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, sprich:

Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $n_0(\varepsilon) \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:

(*) [mm] $\int\limits_{x_m}^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx < [mm] \varepsilon$. [/mm]

Ich aber habe gezeigt, dass für $0 [mm] \le a\le [/mm] b < [mm] \infty$ [/mm] gilt:

[mm] $\lim\limits_{a \to \infty} \int\limits_{a}^{b} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx=0$.

Daraus folgt (*).

Liebe Grüße
Julius


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