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| Aufgabe | Es bezeichnet [x] die größte Zahl, die [mm] \le [/mm] x. Man bestimme den Wert des uneigentlichen Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{2^{\frac{-1}{s}} ds} [/mm] |
Hey
ich habe einige Probleme mit der Aufgabenstellung.
Es geht ja darum den Wert des unbestimmten Integrals zu bestimmen.
Allerdings verstehe ich
1.nicht welche Bedeutung der Satz "Es bezeichnet [x] die größte Zahl, die [mm] \le [/mm] x" hat
und es gilt ja auch [mm] f:(0,1)->\IR
[/mm]
daher muss ich ja:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=\integral_{0}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{1}{f(x) dx} [/mm] setzen um das uneigentliche Integral zu lösen, richtig?
Allerdings weiß ich nicht wie ich genau hier ansetzen soll und würde mich
mein zweiter Ansatz wäre es das Integral umzuformen:
[mm] \integral_{0}^{1}{2^{\frac{-1}{s}} ds}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{2}^{\frac{1}{s}} ds}
[/mm]
allerdings komme ich dann hier auch nicht mehr weiter...
über Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es bezeichnet [x] die größte Zahl, die [mm]\le[/mm] x. Man
> bestimme den Wert des uneigentlichen Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{2^{\frac{-1}{s}} ds}[/mm]
> Hey
> ich habe einige Probleme mit der Aufgabenstellung.
> Es geht ja darum den Wert des unbestimmten Integrals zu
> bestimmen.
> Allerdings verstehe ich
> 1.nicht welche Bedeutung der Satz "Es bezeichnet [x] die
> größte Zahl, die [mm]\le[/mm] x" hat
>
> und es gilt ja auch [mm]f:(0,1)->\IR[/mm]
> daher muss ich ja:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=\integral_{0}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> setzen um das uneigentliche Integral zu lösen, richtig?
> Allerdings weiß ich nicht wie ich genau hier ansetzen
> soll und würde mich
>
>
> mein zweiter Ansatz wäre es das Integral umzuformen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{2^{\frac{-1}{s}} ds}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\frac{1}{2}^{\frac{1}{s}} ds}[/mm]
>
>
> allerdings komme ich dann hier auch nicht mehr weiter...
> über Hilfe freuen.
Berechne [mm]\integral_{a}^{1}{2^{\frac{-1}{s}} ds}[/mm] und lasse dann a [mm] \to [/mm] 0 gehen.
FRED
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Hey
das hatte ich schon probiert, nur irgendwie komme ich so nicht weiter:
[mm] \integral_{a}^{1}*2^{\frac{-1}{s} ds}= [/mm] ( [mm] \frac{s-1}{s})*2^\frac{s-1}{s}
[/mm]
= 0- (( [mm] \frac{a-1}{a})*2^{\frac{a-1}{a}}
[/mm]
und da der Nenner ja ganz klein wird, wird der ganze Bruch beliebig groß und somit auch das ganze Produkt beliebig groß..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 18.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Hey
> das hatte ich schon probiert, nur irgendwie komme ich so
> nicht weiter:
> [mm]\integral_{a}^{1}*2^{\frac{-1}{s} ds}=[/mm] (
> [mm]\frac{s-1}{s})*2^\frac{s-1}{s}[/mm]
> = 0- (( [mm]\frac{a-1}{a})*2^{\frac{a-1}{a}}[/mm]
Die Stammfunktion stimmt so leider vorne und hinten nicht
Du hast mit [mm] f(x)=x^{n} [/mm] hat die Stammfunktionen [mm] F(x)=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+C [/mm] gearbeitet, bei deiner Funktion steht die Variable aber im Exponenten
[mm] f(x)=b^{x} [/mm] hat die Stammfunktion(en) [mm] F(x)=\frac{b^{x}}{\ln(b)}+C
[/mm]
Damit berechne das Integral nochmal neu.
Marius
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey
danke für die Antwort. Dann erhalte ich als eine Stammfunktion:
\frac{2^{\frac{-1}{s}}{ln(2)}
wenn ich dann die zugehörigen Grenzen einsetze erhalte ich:
\frac{2^{\frac{-1}{1}}{ln(2)}-\frac{2^{\frac{-1}{a}}{ln(2)}
= \frac{0,5}{ln(2)}-\frac{2^{\frac{-1}{a}}{ln(2)}
für a gegen 0 wird der zweite Summand beliebig groß. Somit erhalte ich ja leider immer noch keinen festen Grenzwert. Ganz im Gegenteil, der obige Ausdruck divergiert nun. Wo liegt der Fehler?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 18.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vorsicht, du musst noch den Exponenten beachten, dieser ist nicht "sauber", also nur s.
[mm] \int2^{-\frac{1}{s}}ds [/mm] kannst du nicht so ohne weiteres bestimmen.
Marius
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Ich glaube ja, daß es hier um etwas ganz anderes geht, nämlich um das Integral [mm]\int_0^1 2^{- \left[ \frac{1}{s} \right]} ~ \mathrm{d}s[/mm]. Und der Wert ist
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \cdot \frac{1}{2^k} = 1 - \ln 2[/mm]
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Hey
aber wie erhält man dies? Wie kommst du denn plötzlich auf eine Reihe?
LG
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Zeichne dir den Graphen der Funktion [mm]s \mapsto 2^{- \left[ \frac{1}{s} \right]}[/mm] für [mm]s \in (0,1][/mm]. Die Funktion ist ja stückweise konstant:
auf [mm]\left( \frac{1}{2} , 1 \right][/mm] mit Wert [mm]\frac{1}{2}[/mm], auf [mm]\left( \frac{1}{3} , \frac{1}{2} \right][/mm] mit Wert [mm]\frac{1}{2^2}[/mm], auf [mm]\left( \frac{1}{4} , \frac{1}{3} \right][/mm] mit Wert [mm]\frac{1}{2^3}[/mm] und so weiter.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Berechnung des Integrals mußt du daher nur die entsprechenden Rechtecksflächen addieren. Das geht aber in altbekannter Weise: Länge mal Breite. So entsteht ganz von alleine die angeführte Reihe. Ihr Grenzwert kann mit ein paar geschickten Umformungen und der Kenntnis der Reihe der Funktion [mm]s \mapsto - \ln(1-s)[/mm] ermittelt werden.
Die eigentliche Schwierigkeit besteht also darin, sich den Verlauf der Funktion [mm]s \mapsto 2^{- \left[ \frac{1}{s} \right]}[/mm] klarzumachen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hey
ja okay das verstehe ich. Allerdings kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie man
1.von f(s)= [mm] 2^{\frac{-1}{s}} [/mm] auf
f(k)= [mm] \frac{1}{2^{k}} [/mm] kommt.. das man dies in den Nenner schreibt und dann das negative Vorzeichen verschwindet verstehe ich. Aber wo ist der Bruch hin?
2. Ich habe es jetzt schon mit der geometrischen Reihe probiert den Grenzwert der Reihe ausfindig zu machen. Nur leider komme ich nie auf den von dir gegebenen Grenzwert der Reihe..
Wie erhälst du diesen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 19.05.2014 | | Autor: | hippias |
Findest Du es nicht eigenartig, dass Du die ueber mehrere Mitteilungen mit der falschen Funktion rechnest und dich erst ein Fremder aus dem Internet, der den originalen Wortlaut der Aufgabenstellung vermutlich nicht kennt, darauf aufmerksam machen muss: du solltest dich etwas besser konzentrieren. Und die gegebenen Antworten aufmerksam durchlesen.
Die Funktion lautet [mm] $2^{-[\frac{1}{s}]}$ [/mm] und offenbar nicht [mm] $2^{-\frac{1}{s}}$! [/mm] Sie ist stueckweise konstant auf den Intervallen, wie DieAcht angedeutet hat: [mm] $\int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} (\frac{1}{2})^{[\frac{1}{s}]}ds [/mm] = [mm] \int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} (\frac{1}{2})^{k}ds$ [/mm] (da $f$ stueckw.konst) $= [mm] (\frac{1}{2})^{k} \int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} [/mm] 1ds$ (Linearitaet) $= [mm] \ldots$
[/mm]
Im Uebrigen habe ich dir in deinem anderen Thread Hinweise gegeben, wie du den Wert der Reihe ermitteln kannst.
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