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Forum "Integrationstheorie" - uneigentliches Integral
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uneigentliches Integral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:46 Do 03.01.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm]

Hallo!

Laut Buch ist die korrekte Lösung der Aufgabe: [mm] \infty. [/mm]
Allerdings komme ich auf:

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{2}} dx} [/mm]

Ein Integral von [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ist [mm] -2x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also


[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow\infty} -2\wurzel{f} [/mm] -  [mm] (-2\wurzel{1}) [/mm] = [mm] -\infty. [/mm]

Wo liegt der Fehler?

        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Do 03.01.2019
Autor: fred97


> Berechnen Sie [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Laut Buch ist die korrekte Lösung der Aufgabe: [mm]\infty.[/mm]
>  Allerdings komme ich auf:
>  
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
>  
> Ein Integral von [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ist [mm]-2x^{\bruch{1}{2}},[/mm]



Nein. Eine Stammfunktion ist [mm] 2x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also ohne Minuszeichen.



> also
>  
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{f\rightarrow\infty} -2\wurzel{f}[/mm] -  [mm](-2\wurzel{1})[/mm]
> = [mm]-\infty.[/mm]
>  
> Wo liegt der Fehler?

Siehe oben.




Bezug
                
Bezug
uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 So 06.01.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Berechnen Sie


[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]

Ok, das war geschusselt.
Noch kurz eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.

Die vorgegeben Lösung ist [mm] -\infty. [/mm]

Ich komme hier auf:

[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow0} \integral_{-1}^{f}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow0} [/mm] ln(f) - ln(-1) = - [mm] \infty [/mm] - ln(-1)

Wenn jetzt ln(-1) nicht definiert ist, kann man dann einfach schulterzuckend sagen, das Ergebnis ist [mm] -\infty [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 So 06.01.2019
Autor: tobit09

Hallo sancho1980!


> Ich komme hier auf:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{f\rightarrow0} \integral_{-1}^{f}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]

Genau, es handelt sich um ein uneigentliches Integral.


> = [mm]\limes_{f\rightarrow0}[/mm] ln(f) - ln(-1)

Wie du selbst feststellst, sind ln(f) für f<0 und ln(-1) überhaupt nicht definiert.
Diese Zeile ist also schon sinnlos.


Eine Stammfunktion der Abbildung [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR,\;x\mapsto\frac{1}{x}$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR,\;x\mapsto [/mm] ln(|x|)$.

Damit solltest du das Integral bestimmen können.


Viele Grüße
Tobias

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