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Forum "Integration" - uneigentliches Integral
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uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Sa 08.01.2022
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Über einem geeigneten endlichen oder unendlichen Intervall der reellen Achse wird

                        [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[4]{x-2}} dx} [/mm]

betrachtet. Für welche  a  und  b  handelt es sich dabei um

(i)     ein bestimmtes Integral,

(ii)    ein konvergentes uneigentliches Integral,

(iii)   ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral   bzw.

(iiii)  ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral  ?

Was ist
(iii)   ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral   bzw.

(iiii)  ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral  ?

Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn der Wert nicht endlich ist.
Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts dazu.


        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 So 09.01.2022
Autor: chrisno


> .......
> Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn
> der Wert nicht endlich ist.
>  Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind
> mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts
> dazu.
>  

Das finde ich erstaunlich. Ich tippe "bestimmt divergent" bei der Suchmaschine ein und erhalte:
https://mathepedia.de/Bestimmte_Divergenz.html
[mm] https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Bestimmte_Divergenz,_uneigentliche_Konvergenz [/mm]

und mehr. Aber auch unter "Konvergenz" in Wikipedia gibt es einen Abschnitt
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

Bezug
        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 09.01.2022
Autor: HJKweseleit


> Über einem geeigneten endlichen oder unendlichen Intervall
> der reellen Achse wird
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[4]{x-2}} dx}[/mm]
>  

Die Wurzel ist nur für nicht-negative Werte, also für [mm] x\ge [/mm] 2, definiert. Für x=2 wird der Nenner 0.


> betrachtet. Für welche  a  und  b  handelt es sich dabei
> um
>  
> (i)     ein bestimmtes Integral,

Alle Werte aus a,b [mm] \in ]2|\infty[ [/mm] geben einen festen, endlichen Wert, also ein bestimmtes Integral.

>  
> (ii)    ein konvergentes uneigentliches Integral,

Hier muss zunächst die Integralfunktion bestimmt werden, um dann  [mm] \limes_{a\rightarrow 2} [/mm] und [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] zu bilden. Diese heißt [mm] \bruch{4}{3}\wurzel[4]{(x-2)^3}, [/mm] und es ist [mm] \limes_{a\rightarrow 2} [/mm] = 0 für die untere und [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] für die obere Grenze.

Das uneigentliche Integral existiert also für [mm] \integral_{2}^{b}{f(x) dx}, b\ge [/mm] 2, aber nicht für [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}. [/mm]

>  
> (iii)   ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral  
> bzw.

Das liegt für [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] vor, da dieses nach [mm] \infty [/mm] geht.

>  
> (iiii)  ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral  
> ?
>  Was ist
> (iii)   ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral  
> bzw.

Hierzu ein Beispiel:

Für F(x) = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - cos(x)) ist f(x) = F'(x) = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - cos(x)) + [mm] e^x*( [/mm] cos(x) + sin(x)) = [mm] 2*e^x*sin(x) [/mm]  und damit

[mm] \integral_{0}^{b}{2*e^x*sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - [mm] cos(x))|^b_0 [/mm] = [mm] e^b*(sin(b) [/mm] - cos(b)) - 1*(0-1).

Lässt man nun b nach [mm] \infty [/mm] gehen, geht auch [mm] e^b [/mm] nach [mm] \infty. [/mm]
Für die Klammer (sin(b) - cos(b)) gilt aber: Ist b =  [mm] 2\pi, 4\pi, 6\pi, [/mm] ..., so ist sin(b) = 0 und cos(b) = 1, die Klammer also -1. Ist Ist b =  [mm] \pi, 3\pi, 5\pi, [/mm] ..., so ist sin(b) = 0 und cos(b) = - 1, die Klammer also 1.

Das heißt, der Wert des Integrals geht betragsmäßig nach [mm] \infty, [/mm] wird aber immer wieder positiv und negativ, ist somit unbestimmt divergent.

Auch das [mm] \integral_{0}^{b}{cos(x) dx} [/mm] = [mm] sin(x)|^b_0 [/mm]  = sin(b) ist unbestimmt divergent, da sein Wert immer zwischen 1 und -1 schwankt und daher [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] nicht existiert und auch nicht [mm] +\infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] ist.


>  
> (iiii)  ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral  
> ?
>  
> Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn
> der Wert nicht endlich ist.
>  Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind
> mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts
> dazu.
>  


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