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Forum "Integration" - uneigentliches Integral
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uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Sa 21.07.2007
Autor: vivo

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{dx}{x^3+x}} [/mm]

also das wäre ja [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{dx}{x(x^2+1)}} [/mm]

und integral [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wäre lnx und integral von [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] wäre arctan(x) aber da es ja [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x^2+1}} [/mm] heißt weiß ich nicht wie ich integrieren muss

vielen dank für eure hilfe

        
Bezug
uneigentliches Integral: Partialbruchzerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 21.07.2007
Autor: Loddar

Hallo vivo!


Führe hier vor der Integration eine MBPartialbruchzerlegung durch:

[mm] $\bruch{1}{x*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B*x+C}{x^2+1}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Sa 21.07.2007
Autor: vivo

ok danke ...

Bezug
                
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uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 21.07.2007
Autor: vivo

also nach der Partialbruchzerlegung:

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}+\bruch{-x}{x^2+1}} [/mm]

[lnx + (-x)arctan(x)] ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
uneigentliches Integral: nicht richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 21.07.2007
Autor: Loddar

Hallo vivo!


Du kannst hier beim 2. Teilintegral nicht einfach $x \ [mm] \text{mal Bruch}$ [/mm] integrieren.

Der Ausdruck [mm] $\bruch{x}{x^2+1}$ [/mm] hat doch nahezu die Form [mm] $\bruch{f'(x)}{f(x)}$ [/mm] . Und wie werden diese integriert?


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 21.07.2007
Autor: vivo

Der Ausdruck [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm] hat doch nahezu die Form
[mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] . Und wie werden diese integriert?

durch substitution?

[mm]\bruch{2x}{x^2+1}[/mm] [mm] u=x^2+1 [/mm]     du=2xdx

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*du} [/mm]

[ln|u|] resubsti -> [mm] ln|x^2+1| [/mm] ?????????

somit hätte ich dann insgesamt [mm] [ln(x)+0,5ln(x^2+1)] [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Sa 21.07.2007
Autor: angela.h.b.


>  Der Ausdruck [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm] hat doch nahezu die Form
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] . Und wie werden diese integriert?
>  
> durch substitution?

Hallo,

durch Substitution oder - schneller - indem man's einfach weiß...


> [mm]\bruch{2x}{x^2+1}[/mm] [mm]u=x^2+1[/mm]     du=2xdx
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*du}[/mm]
>  
> [ln|u|] resubsti -> [mm]ln|x^2+1|[/mm] ?????????

So richtig schlau werde ich aus dem, was ich hier lese, nicht, aber Indizien deuten daraufhin, daß Du das Richtige meinst:

[mm] \integral \bruch{x}{x^2+1}dx [/mm]

            [Substitution  [mm] u=x^2+1 x=\wurzel{u-1} [/mm]  dx= [mm] \bruch{1}{2\wurzel{u-1}}du] [/mm]

[mm] ...=\integral \bruch{\wurzel{u-1}}{u}*\bruch{1}{2\wurzel{u-1}}du=\bruch{1}{2}\integral \bruch{1}{u}du=\bruch{1}{2}ln|u|, [/mm]

und dann rücksubstituieren wie v. Dir beschrieben. Testen kannst Du's ja mit der Ableitung.


Die Methode der "Wissenden":

[mm] \integral \bruch{x}{x^2+1}dx =\bruch{1}{2}\integral \bruch{2x}{x^2+1}dx, [/mm]

man sieht "Ableitung : Funktion" ,und man weiß "ln|Funktion|".

Gruß v. Angela

                                          
                              

Bezug
                                        
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uneigentliches Integral: fast ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Sa 21.07.2007
Autor: Loddar

Hallo vivo!


Ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich noch eingeschlichen. Denn schließlich hatten wir ja auch:

[mm] $\integral{\bruch{1}{x} \ \red{-} \ \bruch{x}{x^2+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right)+C$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
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uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 21.07.2007
Autor: vivo


> Hallo vivo!
>  
>
> Ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich noch eingeschlichen.
> Denn schließlich hatten wir ja auch:
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} \ \red{-} \ \bruch{x}{x^2+1} \ dx} \ = \ \ln(x) \ \red{-} \ \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right)+C[/mm]
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

so wenn ich jetzt 1 einsetze kommt ja 0 - 0,5ln(2) raus

[mm] \ln(x) \red{-} \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right) [/mm] = [mm] \ln\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] \ln\bruch{x}{x\wurzel{1+1/x^2}} [/mm] = [mm] \ln\bruch{1}{\wurzel{1+1/x^2}} [/mm] hier [mm] \infty [/mm] eingesetzt gib 1 und ln1=0

also insgesamt 0- (0-0,5ln(2)) = 0,5ln(2)

richtig so????

vielen dank für die hilfe

Bezug
                                                        
Bezug
uneigentliches Integral: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Sa 21.07.2007
Autor: Loddar

Hallo vivo!


[daumenhoch] !! Sehr gut gemacht mit der Umformung für den Logarithmus ...


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
uneigentliches Integral: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Sa 21.07.2007
Autor: Loddar

Hallo vivo!


Als Endergebnis erhalte ich dann für das uneigentliche Integral [mm] $\integral_1^{\infty} [/mm] \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(2)$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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