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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 27.02.2008 | | Autor: | DominikW |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgendes Integral auf Konvergenz:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)*ln(1+x)}{x^2*\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Wie genau überprüfe ich diesen Integral auf Konvergenz?
genügt es, sin(x) mit 1 und [mm] \bruch{ln(1+x)}{wurzel(x)} [/mm] mit 1 abzuschätzen und dann [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] zu integrieren?
also
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)*ln(1+x)}{x^2*\wurzel{x}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}=\bruch{-1}{x} [/mm] für [mm] x=(1...\infty)
[/mm]
Ich glaube der Teil sollte stimmen, aber wie soll ich es für die untere Grenze(0) zeigen?
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> Untersuchen sie folgendes Integral auf Konvergenz:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)*ln(1+x)}{x^2*\wurzel{x}} dx}[/mm]
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> Wie genau überprüfe ich diesen Integral auf Konvergenz?
> genügt es, sin(x) mit 1 und [mm]\bruch{ln(1+x)}{wurzel(x)}[/mm] mit
> 1 abzuschätzen und dann [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] zu integrieren?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nur würde ich diese Überlegung etwas hübscher hinschreiben wollen...
>
> also
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)*ln(1+x)}{x^2*\wurzel{x}} dx}\red{=}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}=\bruch{-1}{x}[/mm]
> für [mm]x=(1...\infty)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Neeeee! Gleich sind die beiden Integrale natürlich nicht. Aber Du kannst zeigen, dass für genügend grosses $x$ gilt:
[mm]\left|\frac{\sin(x)\cdot\ln(1+x)}{x^2\sqrt{x}}\right|\leq \frac{1}{x^2}[/mm]
Du hast also an der oberen Grenze so etwas wie eine konvergente Majorante des Integranden, weil [mm] $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\; [/mm] dx$ konvergiert.
> Ich glaube der Teil sollte stimmen, aber wie soll ich es
> für die untere Grenze(0) zeigen?
[mm]\frac{\sin(x)\cdot \ln(1+x)}{x^2\sqrt{x}}=\underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{\rightarrow 1}\cdot \frac{x+o(x)}{x^{3/2}}\sim \frac{1}{\sqrt{x}}, \text{für $x\rightarrow 0$}[/mm]
Das heisst: das Integral konvergiert auch an der unteren Grenze $0$, weil [mm] $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\; [/mm] dx$ an der unteren Grenze ebenfalls konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Do 28.02.2008 | | Autor: | DominikW |
Danke erstmal für die rasche Antwort. im großen und ganzen verstehe ich die Abschätzung aber wie kann ich begründen, dass [mm] \bruch{sin(x)}{x}\to [/mm] 1 geht?
Das dies der Fall ist wenn ich nur diesen Therm habe ist mir bekannt nur eben nicht, dass ich dies anwenden kann wenn der Therm mit weiteren von x abhängigen Thermen multipliziert wird!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:57 Do 28.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Für [mm] x\to [/mm] 0 gilt [mm] \bruch{sin(x)}{x}\to "\bruch{0}{0}"
[/mm]
Daher kann man die Regel de L'Hospital anwenden.
Da danach die einzelnen Grenzwerte bekannt sind, kann man
lim(f(x)*g(x))=lim(f(x))*lim(g(x)) schreiben.
Allgemein kann man mit existierenden Grenzwerten Punkt- und Strichrechnung durchführen.
Ciao.
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