uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 26.04.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe 1 | Für welche Parameter t existiert das uneigentliche Integral
[mm] \integral_1^{\infty}\frac{\ln x}{(x^2+1)^t}dx [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie:
[mm] \integral_0^{\infty}\frac{\ln x}{(x^2+1)}dx
[/mm]
(hier ist t=1) |
Hallo,
erstmal zu Aufgabe 1: hier vermute ich, dass das uneigentliche Integral für [mm] t\geq1 [/mm] existiert. Stimmt das? Wie kann ich das zeigen?
Ich habe versucht, dass Integral aufzulösen, aber es ist mir leider nicht gelungen...
[mm] \lim_{k\to\infty} \integral_1^{k}\frac{\ln x}{(x^2+1)^t}dx=?
[/mm]
Bitte um Hilfe. Danke im Voraus!
mfg,
pyw
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Wie wäre es bei der zweiten Aufgabe mit der Substitution [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] im Integral
[mm]\int_1^{\infty} \frac{\ln x}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Di 26.04.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für die Antwort.
> Wie wäre es bei der zweiten Aufgabe mit der Substitution [mm]x = \frac{1}{t}[/mm]
> im Integral [mm]\int_1^{\infty} \frac{\ln x}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x[/mm]
Da kommt das gleiche Integral raus, allerdings mit anderen Grenzen:
[mm] \int_1^{\infty} \frac{\ln x}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x=\int_1^{0} \frac{\ln t}{t^2 + 1}~\mathrm{d}t
[/mm]
Es folgt [mm] \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x=0
[/mm]
Weiß jemand bei der ersten Aufgabe weiter?Danke!
mfg, pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a du kannst das integral nicht explizit lösen. also musst du majoranten bzw minoranten finden. [mm] t\ge1 [/mm] ist falsch. es gilt [mm] t\ge0.5
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mi 04.05.2011 | | Autor: | pyw |
> Hallo
> zu a du kannst das integral nicht explizit lösen. also
> musst du majoranten bzw minoranten finden. [mm]t\ge1[/mm] ist
> falsch. es gilt [mm]t\ge0.5[/mm]
>
> gruss leduart
>
Ok, danke euch! Ich komme nun auf t>0.5 
mfg, pyw
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Moin,
> Weiß jemand bei der ersten Aufgabe weiter?Danke!
Das Integralkriterium für Reihenkonvergenz sollte hier ganz gut helfen:
[mm] \qquad $\sum_{k=1}^\infty f(k)<\infty \gdw \integral_1^\infty f(x)dx<\infty$
[/mm]
mit [mm] f(x)=\frac{\ln x}{(x^2+1)^t}
[/mm]
>
> mfg, pyw
LG
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