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Forum "Lineare Abbildungen" - unendlichdimensional, Dualraum
unendlichdimensional, Dualraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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unendlichdimensional, Dualraum: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 Sa 21.04.2012
Autor: onthenightshift

Aufgabe
Es seien V,W Vektorräume über einem Körper K, und W sei endlichdimensional. Es sei
A : V -> W eine K-lineare Abbildung. Zeige:
für  A*: w*-> V* mit A*(g) = gA

i) Kern(A*) = {g in W* | mit g(Bild(A)) = {0}}.
ii) Kern(A) = {x in V | mit für alle f in Bild(A*) gilt f(x) = 0}.
iii) A ist ein Epimorphismus <=> A* ist ein Monomorphismus.
iv) A ist ein Monomorphismus <=>A* ist ein Epimorphismus.
v) A ist ein Isomorphismus <=> A* ist ein Isomorphismus.
Für welche der Aussagen wird die Endlichdimensionalität von W nicht benötigt?

Hab jetzt über Basisergänzungssatz und eindeutige Bestimmtheit einer linearen Abbildung durch die Angabe der Bilder einer Basis dieser alle Sätze bewiesen ohne die endlichdimensionalität von W gebraucht zu haben. Erfahrungsgemäß würde ich sagen, dass sich ein Fehler eingeschlichen hat. Kann mir jemand verraten, ob die endlichdimesionalität auch nur für eine der fünf aussagen gebraucht wird ?

        
Bezug
unendlichdimensional, Dualraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09

Hallo onthenightshift,


>  Hab jetzt über Basisergänzungssatz und eindeutige
> Bestimmtheit einer linearen Abbildung durch die Angabe der
> Bilder einer Basis dieser alle Sätze bewiesen ohne die
> endlichdimensionalität von W gebraucht zu haben.
> Erfahrungsgemäß würde ich sagen, dass sich ein Fehler
> eingeschlichen hat. Kann mir jemand verraten, ob die
> endlichdimesionalität auch nur für eine der fünf
> aussagen gebraucht wird ?

Ich komme zum selben Schluss wie du: Die Endlichdimensionalität von W wird bei keiner der fünf Aussagen gebraucht. Komische Aufgabenstellung...


Nebenbei: Hattet ihr den Basisergänzungssatz auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Da braucht man nämlich das Lemma von Zorn...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
unendlichdimensional, Dualraum: basisergänzung, unendlicher vr
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Sa 21.04.2012
Autor: onthenightshift

es könnte sein, dass der aufgabensteller den basisergänzungssatz im unendlichedimensionalen vr nicht zulässt und deshalb die aufgabenstellung irreführend wirkt.

Bezug
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