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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dodi |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=r}^{\infty}s^k\vektor{k-1 \\ r-1}p^rq^{k-r} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe immer wieder Probleme bei Reihen, in denen Binomialkoeffizienten vorkommen. Ich habe die Aufgabe folgendermassen umgeformt:
[mm] \summe_{k=r}^{\infty}s^k\vektor{k-1 \\ r-1}p^rq^{k-r} [/mm] = [mm] (\bruch{p}{q})^r \summe_{k=r}^{\infty}\vektor{k-1 \\ r-1}q^ks^k
[/mm]
Nun weiss ich nicht wie man diesen Binomialkoeffizienten umformt. Für eine entsprechende Hilfe wäre ich äusserst dankbar!
Die Lösung zur Aufgabe ist: [mm] (\bruch{ps}{1-qs})^r
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss Dodi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Di 31.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\summe_{k=r}^{\infty}s^k\vektor{k-1 \\
r-1}p^rq^{k-r}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe immer wieder Probleme bei Reihen, in denen
> Binomialkoeffizienten vorkommen. Ich habe die Aufgabe
> folgendermassen umgeformt:
>
> [mm]\summe_{k=r}^{\infty}s^k\vektor{k-1 \\
r-1}p^rq^{k-r}[/mm] =
> [mm](\bruch{p}{q})^r \summe_{k=r}^{\infty}\vektor{k-1 \\
r-1}q^ks^k[/mm]
>
> Nun weiss ich nicht wie man diesen Binomialkoeffizienten
> umformt. Für eine entsprechende Hilfe wäre ich äusserst
> dankbar!
>
> Die Lösung zur Aufgabe ist: [mm](\bruch{ps}{1-qs})^r[/mm]
Die Loesung zu haben hilft immer weiter 
Du hast zwei Moeglichkeiten.
Wenn du $x := q s$ setzt, willst du [mm] $(\frac{x}{1 - x})^r [/mm] = [mm] \sum_{k=r}^\infty \binom{k - 1}{r - 1} x^k$ [/mm] zeigen. (Mit dem, was du oben ausgeklammert hast.)
Andernfalls kannst du direkt [mm] $(\frac{ps}{1 - qs})^r [/mm] = [mm] \summe_{k=r}^{\infty}s^k\vektor{k-1 \\ r-1}p^rq^{k-r}$ [/mm] zeigen.
Auf jeden Fall solltest du Induktion nach $r$ machen. Fuer $r = 1$ musst du [mm] $\frac{x}{1 - x}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{ps}{1 - qs}$ [/mm] als Reihe entwickeln. Stichwort: geometrische Reihe!
Fuer den Induktionsschritt berechnest du das Cauchy-Produkt zweier Reihen und wendest Rechenregeln fuer Binomialkoeffizienten an.
Wie weit kommst du damit?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Hallo Felix,
danke für deine Bemühungen, die ich soweit nachvollziehen kann. Allerdings ist diese Aufgabe nicht im Sinn eines Beweises gestellt, sondern im Sinn einer Berechnung, d.h. die Lösung habe ich dank eines Lösungsbuches, allerdings würde mich der Lösungsweg zu dieser Lösung interessieren.
Sorry für das Missverständnis! Der Zusatz p+q=1 ist auch noch gegeben.
Gruss Dodi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 31.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Dodi!
> danke für deine Bemühungen, die ich soweit nachvollziehen
> kann. Allerdings ist diese Aufgabe nicht im Sinn eines
> Beweises gestellt, sondern im Sinn einer Berechnung, d.h.
> die Lösung habe ich dank eines Lösungsbuches, allerdings
> würde mich der Lösungsweg zu dieser Lösung
> interessieren.
>
> Sorry für das Missverständnis! Der Zusatz p+q=1 ist auch
> noch gegeben.
Also, zweiter Versuch :)
Was bei solchen Reihen helfen kann, ist sich das fuer $r = 1, 2, 3$ anzuschauen -- dann kann man es meist mit weniger Aufwand konkret ausrechnen -- und zu gucken ob sich eine Regelmaessigkeit ergibt. Hier kommt man damit vermutich auf die Vermutung, dass das Ergebnis gleich [mm] $(\frac{p s}{1 - q s})^r$ [/mm] ist, was man dann per Induktion beweisen kann. (Den Induktionsanfang hat man ja auch gleich schon fertig.)
Alternativ kannst du auch direkt mit der Reihe versuchen zu arbeiten. Du hast ja das ganze schon zu [mm]\left(\frac{p}{q}\right)^r \sum_{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1} q^k s^k[/mm] vereinfacht. Setze [mm]x := q s[/mm]; dann gilt es im Wesentlichen [mm]\sum_{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1} x^k[/mm] zu vereinfachen.
Die Potenzreihe [mm]f(x) := \sum_{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1} x^k[/mm] erinnert an die geometrische Reihe, auch ein wenig an Ableitungen. Erstmal kann man ja [mm] $x^r$ [/mm] ausklammern; dann bleibt [mm] $f_r(x) [/mm] := [mm] \sum_{k=r}^\infty \binom{k - 1}{r - 1} x^{k - r}$ [/mm] ueber. So. Leiten wir das mal testweise ab. Dann hat man [mm] $f_r'(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=r+1}^\infty \frac{(k - 1)!}{(r - 1)! (k - r)!} [/mm] (k - r) [mm] x^{k - r - 1} [/mm] = [mm] \sum_{k=r+1}^\infty \frac{r (k - 1)!}{((r + 1) - 1)! (k - r - 1)!} x^{k - (r + 1)} [/mm] = r [mm] \cdot\sum_{k=r+1}^\infty \binom{k - 1}{(r + 1) - 1} x^{k - (r + 1)} [/mm] = r [mm] f_{r+1}(x)$.
[/mm]
Es ist also [mm] $\frac{1}{r} f_r'(x) [/mm] = [mm] f_{r+1}(x)$, [/mm] und damit per Induktion [mm] $f_r(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{(r - 1)!} \frac{\partial^{r-1} f_1}{\partial x^{r - 1}}(x)$.
[/mm]
Nun ist [mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \binom{k - 1}{0} x^k [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty x^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x} [/mm] - 1 = [mm] \frac{x}{1 - x}$. [/mm] Damit kannst du jetzt hoffentlich [mm] $f_r(x)$ [/mm] ausrechnen, und damit schliesslich den Wert der Reihe.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Wow, danke für die ausführliche und verständliche Erklärung. Das hätte ich alleine nie und nimmer so hinbekommen.
Am Schluss ist dir übrigens ein kleiner Fehler unterlaufen, es sollte heissen:
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \binom{k - 1}{0} x^{k-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x}
[/mm]
Ich habe auch deinen ersten Vorschlag versucht, allerdings scheitere ich dann an folgender Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}kx^{k+1} [/mm] = ?
Die Reihe sieht eigentlich nicht so kompliziert aus, allerdings verwirrt mich, dass ein Teil davon geometrisch ist und der andere additiv. Hier klappt ja das Ableiten auch nicht mehr.
Sorry für das ständige Nachfragen! Deine Erklärungen haben mir auf jeden Fall geholfen.
Gruss Dodi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Di 31.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wow, danke für die ausführliche und verständliche
> Erklärung. Das hätte ich alleine nie und nimmer so
> hinbekommen.
>
> Am Schluss ist dir übrigens ein kleiner Fehler
> unterlaufen, es sollte heissen:
>
> [mm]f_1(x)[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^\infty \binom{k - 1}{0} x^{k-1}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k[/mm] = [mm]\frac{1}{1 - x}[/mm]
Ouch, ja, mein Fehler. Damit wird es viel einfacher! :)
> Ich habe auch deinen ersten Vorschlag versucht, allerdings
> scheitere ich dann an folgender Reihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}kx^{k+1}[/mm] = ?
>
> Die Reihe sieht eigentlich nicht so kompliziert aus,
> allerdings verwirrt mich, dass ein Teil davon geometrisch
> ist und der andere additiv. Hier klappt ja das Ableiten
> auch nicht mehr.
Schau mal genau hin. Du kannst [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern. Dann bleibt innen $k [mm] x^{k-1}$ [/mm] stehen. Das ist doch die Ableitung von [mm] $x^k$.
[/mm]
Damit kannst du das ganze auf die geometrische Reihe zurueckfuehren :)
Allgemein kannst du auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty k^n x^k$ [/mm] mehr oder weniger einfach auf die geometrische Reihe zurueckfuehren. Die geometrische Reihe ist sowieso ganz toll und ueberhaupt... ;)
Irgendwann hat man genug Beispiele in die Richtung gesehen, dass man bei solchen Reihen Ideen bekommt wie man sie ausrechnen kann, oder zumindest auf etwas "einfacheres" zurueckfuehren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Super! Ich habs verstanden, vielen Dank dafür Felix!
Gruss Dodi
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