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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 22.12.2010 | | Autor: | snoopy89 |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine Modulprüfung in Analysis vor und bin da auf einen Satz gestoßen, den ich nicht verstehe. Daher verstehe ich auch den Beweis nicht. Allerdings scheint der Satz von Bedeutung zu sein, weil ich damit den Satz von Heine-Borel beweise. Hier der Satz:
Satz (Cantor)
Sei E [mm] \subseteq [/mm] K eine unendliche Teilmenge einer kompakten Menge K, dann besitzt E mindestens einen Häufungspunkt in K.
Beweis
Angenommen es existiert kein Häufungspunkt x [mm] \in [/mm] K von E. Dann existiert zu jedem Punkt x [mm] \in [/mm] E eine Umgebung [mm] U_{x} [/mm] = [mm] U_{r}(x), r=r_{x}>0, [/mm] derart, dass [mm] U_{x} \cap [/mm] E = {x}. Ferner existiert zu jedem Punkt x [mm] \in [/mm] K \ E eine Umgebung [mm] U_{x} [/mm] = [mm] U_{r}(x), r=r_{x}>0, [/mm] derart, dass [mm] U_{x} \cap [/mm] E = [mm] \emptyset [/mm] . Dann bildet wegen K [mm] \subseteq \bigcup_{x \in K} U_{x} [/mm] die Familie V:={ [mm] U_{x}, [/mm] x [mm] \in [/mm] K } eine Überdeckung von K. Jeder Punkt x [mm] \in [/mm] E liegt in genau einer Umgebung [mm] U_{x} \in [/mm] V. Daher kann V keine endliche Teilüberdeckung besitzen, da E unendlich ist. Dies widerspricht natürlich der Kompaktheit von K.
Also erstmal frage ich mich, wie es eine unendlich Teilmenge in einer beschränkten und abgeschlossenen Menge geben kann. Und dann verstehe ich nicht so ganz, was da bewiesen wird. Gibt es dazu einen besser verständlichen Beweis? Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mi 22.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich bereite mich gerade auf meine Modulprüfung in Analysis
> vor und bin da auf einen Satz gestoßen, den ich nicht
> verstehe. Daher verstehe ich auch den Beweis nicht.
> Allerdings scheint der Satz von Bedeutung zu sein, weil ich
> damit den Satz von Heine-Borel beweise. Hier der Satz:
>
> Satz (Cantor)
> Sei E [mm]\subseteq[/mm] K eine unendliche Teilmenge einer
> kompakten Menge K, dann besitzt E mindestens einen
> Häufungspunkt in K.
>
> Beweis
> Angenommen es existiert kein Häufungspunkt x [mm]\in[/mm] K von E.
> Dann existiert zu jedem Punkt x [mm]\in[/mm] E eine Umgebung [mm]U_{x}[/mm] =
> [mm]U_{r}(x), r=r_{x}>0,[/mm] derart, dass [mm]U_{x} \cap[/mm] E = {x}.
> Ferner existiert zu jedem Punkt x [mm]\in[/mm] K \ E eine Umgebung
> [mm]U_{x}[/mm] = [mm]U_{r}(x), r=r_{x}>0,[/mm] derart, dass [mm]U_{x} \cap[/mm] E =
> [mm]\emptyset[/mm] . Dann bildet wegen K [mm]\subseteq \bigcup_{x \in K} U_{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> die Familie V:={ [mm]U_{x},[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K } eine Überdeckung von K.
> Jeder Punkt x [mm]\in[/mm] E liegt in genau einer Umgebung [mm]U_{x} \in[/mm]
> V. Daher kann V keine endliche Teilüberdeckung besitzen,
> da E unendlich ist. Dies widerspricht natürlich der
> Kompaktheit von K.
>
>
> Also erstmal frage ich mich, wie es eine unendlich
> Teilmenge in einer beschränkten und abgeschlossenen Menge
> geben kann.
Eine unendliche Menge hat unendlich viele Elemente. Das hat mit der Beschränktheit nichts zu tun. Jedes Intervall reeller Zahlen ist eine unendliche Menge.
Übrigens ist die Definition von "kompakt" nicht "abgeschlossen und beschränkt". Dies ist nicht dasselbe, sondern nur richtig für den [mm] $\IR^n$ [/mm] mit Standardtopologie. Diese Äquivalenz ist die Aussage des Satzes von Heine-Borel.
Allgemein: Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt kompakt, wenn jede Überdeckung dieser Menge eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
> Und dann verstehe ich nicht so ganz, was da
> bewiesen wird.
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] K$ heißt Häufungspunkt der Menge E, wenn es in jeder Umgebung von x mindestens einen anderen Punkt aus E gibt. Wenn also ein Punkt kein Häufungspunkt ist, so gibt es mindestens eine Umgebung, die keinen weiteren Punkt aus E enthält. Daher folgt aus der Annahme, dass E keinen Häufungspunkt besitzt, die Aussage, dass jeder Punkt [mm] $x\in [/mm] K$ eine Umgebung [mm]U_{x}[/mm] hat, die keinen weiteren Punkt aus E enthält. Für Punkte [mm] $x\in [/mm] E$ heißt das: [mm]U_{x} \cap E = \{x\}[/mm], und für Punkte [mm] $x\in K\backslash [/mm] E$ ist [mm] U_{x} \cap E =\emptyset[/mm].
Daraus wird hergeleitet, dass es eine Überdeckung von K gibt, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Per Definition von "kompakt" besitzt aber jede Überdeckung einer kompakten Menge eine endliche Teilüberdeckung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 22.12.2010 | | Autor: | snoopy89 |
Ok, vielen Dank. Jetzt ist es verständlicher. Frohe Weihnachten :D
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