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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
| Aufgabe | für positive zahlen a,b definiert man das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch
A(a,b) = [mm] \bruch{a+b}{2}; [/mm] G(a,b) = [mm] \wurzel{ab}; [/mm] H(a,b) = [mm] \bruch{1}{A(\bruch{1}{a},\bruch{1}{b})} \bruch{2ab}{a+b}
[/mm]
beweise die ungleichung:
H(a,b) [mm] \le [/mm] G(a,b) [mm] \le [/mm] A(a,b) |
zuerst habe ich
[mm] \wurzel{ab} \le \bruch{a+b}{2} [/mm] =
ab [mm] \le \bruch{a+b}{2}^2 [/mm] =
ab [mm] \le \bruch{(a+b)^2}{4} [/mm] =
4ab [mm] \le a^2 [/mm] + 2ab [mm] +b^2 [/mm] =
2ab [mm] \le a^2+ b^2
[/mm]
und dann ist [mm] \bruch{2ab}{a+b} \le [/mm] 2ab
kann ich das so schreiben oder müsste ich das anders rechnen?
ich finde allein vom logischen her ist klar das zb. 2ab durch eine positive zahl auf alle fälle kleiner als 2ab ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Sa 03.11.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo Sandra!
> 2ab [mm]\le a^2+ b^2[/mm]
>
> und dann ist [mm]\bruch{2ab}{a+b} \le[/mm] 2ab
Wie kommst du auf diesen Schritt?
>
> kann ich das so schreiben oder müsste ich das anders
> rechnen?
> ich finde allein vom logischen her ist klar das zb. 2ab
> durch eine positive zahl auf alle fälle kleiner als 2ab ist
Warum ist das klar? Was wäre z.B. wenn $a+b < 1$ ?
Die Idee ist es ja, diese Ungleichungen zu einer wahren Aussage zu bringen. Es ist eigentlich nicht üblich zu quadrieren, da du so die Lösung veränderst.
Deine erste Ungleichung würde ich wie folgt verifizieren:
$ [mm] \wurzel{ab} \le \bruch{a+b}{2} [/mm] $
$ [mm] \gdw 2\dot \wurzel{ab} \le [/mm] a+b $
$ [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a - [mm] 2\dot \wurzel{ab} [/mm] + b $
$ [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] ( [mm] \wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b})^2$
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist sicher richtig, denn wenn wir eine Zahl $ x [mm] \in \IR$ [/mm] quadrieren, wird sie positiv sein.
Achte auch darauf, Äquivalenzzeichen anstatt Gleichheitszeichen zu setzen .
Die nächste Ungleichung zeigst du fast genauso, versuch es einfach mal.
Liebe Grüße,
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
>
> > 2ab [mm]\le a^2+ b^2[/mm]
> >
> > und dann ist [mm]\bruch{2ab}{a+b} \le[/mm] 2ab
>
> Wie kommst du auf diesen Schritt?
>
hier hab ich nen fehler gemacht, hab einfach die seite 2ab für G(a,b) eingesetzt, aber das kann ich ja gar nich machen.
ok ich versuchs jetzt mal, habe zwei ansätze bei denen ich beide nicht weiterkomme
1: [mm] \bruch{2ab}{a+b} \le \wurzel{ab}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2ab [mm] \le \wurzel{ab} [/mm] * (a+b)
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le \wurzel{ab} [/mm] * (a+b) - 2ab
2: [mm] \bruch{2ab}{a+b} \le \wurzel{ab}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4a^2 b^2}{(a+b)^2} \le [/mm] ab
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] ab * [mm] (a+b)^2 [/mm] - [mm] 4a^2 b^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] ab * [mm] [a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2] -4a^2 b^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le a^3 [/mm] b + [mm] 2a^2 b^2 [/mm] + a [mm] b^3 [/mm] - [mm] 4a^2 b^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le a^3 [/mm] b - [mm] 2a^2 b^2 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] a
ich komme bei beidem nicht weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 03.11.2007 | | Autor: | DesterX |
Beim 2. Ansatz hast du ja schon wieder quadriert- aber immerhin dafür dieses Mal "Äquivalenzzeichen" gesetzt. Ich bin halb-zufrieden 
Also helf ich dir nochmal ein bisschen, der 1. Ansatz sieht ganz gut aus:
$ [mm] \bruch{2ab}{a+b} \le \wurzel{ab} [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] 2ab [mm] \le \wurzel{ab} \dot [/mm] (a+b)$
[mm] $\gdw \bruch{2ab}{\wurzel{ab}} \le [/mm] (a+b)$
Jetzt einen kleinen Trick anwenden und du bist schon fast am Ziel. Hast du eine Idee?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
mhm so wirklich weiß ich es nicht, aber vllt kann man ja erweitern, nur mit was wäre hier die frage :)
ich hatte schon immer probleme mit wurzeln, vllt will ich deshalb dauernd quattrieren ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 03.11.2007 | | Autor: | DesterX |
Okay, dann hier der kleine Trick und den Rest bekommste bestimmt dann alleine hin:
[mm] $\bruch{ab}{\wurzel{ab}} [/mm] = [mm] \bruch{ab \wurzel{ab}}{\wurzel{ab} \wurzel{ab}}$ [/mm] = [mm] \bruch{ab \wurzel{ab}}{ab} [/mm] = [mm] \wurzel{ab}
[/mm]
Jetzt wenden wir das einfach in der Ungleichung an:
$ [mm] \bruch{2ab}{\wurzel{ab}} \le [/mm] (a+b) $
$ [mm] \gdw 2\wurzel{ab} \le [/mm] (a+b) $
$...$
Die letzen beide Schritte machst du jetzt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
das kann ich :)
0 [mm] \le [/mm] a+b - [mm] 2\wurzel{ab}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a - 2 [mm] \wurzel{ab} [/mm] + b
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le (\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b})^2
[/mm]
vielen dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | DesterX |
Kein Problem
Dann weiter viel Erfolg beim Studieren!
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