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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 24.01.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Sei B = [mm] \pmat{ -1 & -2 & 4 \\ -2 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & -1} [/mm]
Finden Sie eine unitäre Matrix S [mm] \in [/mm] M(3x3, [mm] \IR), [/mm] sodass [mm] \overline{S}^{t} [/mm] A S = D |
Irgendwi habe ich anscheinend noch probleme mit dem Finden einer unitären Matrix.
Zuerst habe ich hierbei das charakteristische Polynom [mm] (-t^{3}+27t-54) [/mm] berechnet und die Eigenwerte 3 (doppelte "Nullstelle") und -6.
Danach habe ich mir die Eigenräume ausgerechnet:
E(A,3) = [mm] \{ \mu \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } \lambda \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
E(A,-6) = [mm] \{ \gamma \pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } \}
[/mm]
Danach habe ich die Orthogonalität überprüft und festgestell, dass
[mm] \pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } [/mm] zu [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } [/mm] orthogonal ist (Skalarprodukt = 0 ) und [mm] \pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } [/mm] zu [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] auch. Jedoch [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } [/mm] zu [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}nicht. [/mm]
Jetzt weiß ich, dass ich sie irgendwie orthogonal machen muss, und hinterher normalisieren. Jedoch weiß ich nicht genau wie. Ich hätte jetzt [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } [/mm] - [mm] \bruch{<\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}>}{<\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1},\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}>} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ausgerechnet ( [mm] =\pmat{ - \bruch{1}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} }. [/mm] Ich weiß aber nicht wirklich, als was ich dieses Ergebnis bewerten soll, bin ein wenig verwirrt.
Danach weiß ich, dass ich etwas normalisieren muss, um eine Ottonormalbasis herauszubekommen. Habe aber nicht so wirklich eine Ahnung was ich normalisieren soll. Normalisieren an sich ist für mich kein Fremdwort.
Danke schon mal im Voraus,
LG Juthe
PS: Falls ihr gute Erfahrung mit Fachliteratur habt, könnt ihr mir gerne sagen wo man das nachlesen kann. Habe bisher leider noch keine guten erklärungen gefunden.
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> Sei B = [mm]\pmat{ -1 & -2 & 4 \\ -2 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & -1}[/mm]
> Finden Sie eine unitäre Matrix S [mm]\in[/mm] M(3x3, [mm]\IR),[/mm] sodass
> [mm]\overline{S}^{t}[/mm] A S = D
> Irgendwi habe ich anscheinend noch probleme mit dem Finden
> einer unitären Matrix.
> Zuerst habe ich hierbei das charakteristische Polynom
> [mm](-t^{3}+27t-54)[/mm] berechnet und die Eigenwerte 3 (doppelte
> "Nullstelle") und -6.
> Danach habe ich mir die Eigenräume ausgerechnet:
> E(A,3) = [mm]\{ \mu \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 } \lambda \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
>
> E(A,-6) = [mm]\{ \gamma \pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } \}[/mm]
>
> Danach habe ich die Orthogonalität überprüft und
> festgestell, dass
> [mm]\pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 }[/mm] zu [mm]\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> orthogonal ist (Skalarprodukt = 0 ) und [mm]\pmat{ -1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 }[/mm]
> zu [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] auch. Jedoch [mm]\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> zu [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}nicht.[/mm]
> Jetzt weiß ich, dass ich sie irgendwie orthogonal machen
> muss, und hinterher normalisieren. Jedoch weiß ich nicht
> genau wie. Ich hätte jetzt [mm]\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> - [mm]\bruch{<\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}>}{<\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1},\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}>}[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] ausgerechnet ( [mm]=\pmat{ - \bruch{1}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} }.[/mm]
> Ich weiß aber nicht wirklich, als was ich dieses Ergebnis
> bewerten soll, bin ein wenig verwirrt.
Hallo,
Dein Ergebnis sagt folgendes:
[mm] \pmat{ - \bruch{1}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}spannen [/mm] denselben Raum auf wie [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 }und \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Im Gegensatz zu zu letzteren Vektoren bilden [mm] \pmat{ - \bruch{1}{4} \\ 1 \\ \bruch{1}{4} } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] jedoch eine Orthogonalbasis von E(A,3).
Wenn Du diese beiden Vektoren und den erzeugenden Vektor von E(A,-6) nun normierst, hast Du eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^3, [/mm] bestehend aus Eigenvektoren, und bist somit der Matrix S ein gutes Stück näher gekommen.
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> PS: Falls ihr gute Erfahrung mit Fachliteratur habt, könnt
> ihr mir gerne sagen wo man das nachlesen kann. Habe bisher
> leider noch keine guten erklärungen gefunden.
Mit welchem Buch man gut zurecht kommt, ist ja auch ein stückweit Gewöhnung, und wenn es halbwegs zur Vorlesung paßt, wäre das nicht übel.
Auf dem aktuellen Markt kenne ich mich gar nicht aus.
Ich benutze das Buch von Kowalsky.
Dann habe ich noch (dereinst vom Wühltisch...) von Heinhold/Riedmüller "Lineare Algebra und analytische Geometrie 1" sowie "Aufgaben und und Lösungen zur... Teil 2", welche ich früher gerne verwendet habe, weil ich sie sehr übersichtlich fand und im Aufgabenband auch Rechenaufgaben recht ausführlich vorgerechnet werden.
Ich finde es am geschicktesten, verschiedenes aus der Bibliothek zu holen, und schließlich das zu kaufen (oder sich schenken lassen) was man häufig verwendet und was einem gefällt.
Gruß v. Angela
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