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Im Beweis, dass eine Matrix genau dann unitär diagonalisierbar ist, wenn sie normal ist, kommt folgende Zeile vor:
Sei A unitär diag'bar, dann ist
[mm] AA^{T} [/mm] = [mm] (UD\overline{U}^{T})*(UD\overline{U}^{T})^T
[/mm]
Wieso gilt dann für die nächste Zeile, dass
[mm] (UD\overline{U}^{T})^T [/mm] = [mm] (U\overline{D}\overline{U}^{T}) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Im Beweis, dass eine Matrix genau dann unitär
> diagonalisierbar ist, wenn sie normal ist, kommt folgende
> Zeile vor:
>
> Sei A unitär diag'bar, dann ist
>
> [mm]AA^{T}[/mm] = [mm](UD\overline{U}^{T})*(UD\overline{U}^{T})^T[/mm]
>
> Wieso gilt dann für die nächste Zeile, dass
>
> [mm](UD\overline{U}^{T})^T[/mm] = [mm](U\overline{D}\overline{U}^{T})[/mm]
Sei [mm] $A\in\IC^{n,n}$ [/mm] unitär diagonalisierbar, dann gibt es per Definition eine unitäre Matrix [mm] $U\in\C^{n,n}$ [/mm] (d.h. [mm] $\overline{U}^TU=I$ [/mm] und somit [mm] $\overline{U}^T=U^{-1}$) [/mm] so dass
[mm] $\overline{U}^T [/mm] A U=D$
wobei [mm] $D\in\C^{n,n}$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Es gilt nun
$A$ ist genau dann unitär diagonalisierbar, wenn $A$ normal ist.
Wir zeigen diese Aussage von links nach rechts, d.h. wir müssen nachweisen, dass $A$ normal ist, d.h.
$A [mm] \overline{A}^T=\overline{A}^T [/mm] A$
Dies folgt einfach aus
[mm] $A\overline{A}^T$
[/mm]
[mm] $=(UD\overline{U}^T)\overline{(UD\overline{U}^T)}^T$
[/mm]
[mm] $=UD\overline{U}^TU\overline{D}^T\overline{U}^T$
[/mm]
[mm] $=UD\overline{D}^T\overline{U}^T$
[/mm]
[mm] $=U\overline{D}^TD\overline{U}^T$
[/mm]
[mm] $=U\overline{D}^T\overline{U}^T UD\overline{U}^T$
[/mm]
[mm] $=\overline{UD\overline{U}^T}^T (UD\overline{U}^T)$
[/mm]
[mm] $=\overline{A}^T [/mm] A$
Im Falle, wenn $A$ reell ist gilt [mm] $\overline{A}^T=A^T$.
[/mm]
Bis dann
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Der Beweis ist mir total klar. Das ist nicht das Problem.
Mein Problem ist, ich verstehe nicht, warum
[mm] \overline{(UD\overline{U}^T)}^T [/mm] = [mm] U\overline{D}^T\overline{U}^T
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mi 22.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Der Beweis ist mir total klar. Das ist nicht das Problem.
> Mein Problem ist, ich verstehe nicht, warum
>
> [mm]\overline{(UD\overline{U}^T)}^T[/mm] =
> [mm]U\overline{D}^T\overline{U}^T[/mm]
Jetzt mit dem grossen Ueberstrich macht es schon mehr Sinn als in deiner urspruenglichen Frage :)
Es ist [mm] $\overline{(UD\overline{U}^T)}^T [/mm] = [mm] (\overline{U}\overline{D} \overline{\overline{U}^T})^T [/mm] = [mm] (\overline{U}\overline{D} \overline{\overline{U}}^T)^T [/mm] = [mm] (\overline{U}\overline{D} U^T)^T [/mm] = [mm] (U^T)^T \overline{D}^T \overline{U}^T [/mm] = U [mm] \overline{D} \overline{U}^T$. [/mm] Dazu beachte, dass fuer eine Diagonalmatrix $D' := [mm] \overline{D}$ [/mm] gilt $D'^T = D'$.
LG Felix
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