unstetige lineare Abbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zum ![[]](/images/popup.gif) Übungsblatt (H2) habe ich folgende Frage:
Ich nehme an, dass man hier zeigen soll, dass T eine unstetige lineare Abbildung ist:
(i) dass sie linear ist: T(a*f+g)=(a*f+g)(1)=(a*f)(1)+g(1)=a*T(f)+T(g).
(ii) dass sie unstetig ist: äquivalent, dass sie nicht in jedem Punkt f [mm] \in [/mm] C[0,1] stetig ist.D.h es gibt einen Punkt [mm] \psi \in [/mm] C[0,1] für den gilt: [mm] \limes_{f\rightarrow\ \psi}T(f)=f(1)\not= T(\psi)=\psi(1).
[/mm]
Wie kann man das jetzt beweisen? Insbesondere wie benutzt man hier ,dass [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{1} [/mm] eine Norm ist?
Gruss
Igor
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Hi,
> Hallo,
>
> zum
> Übungsblatt
> (H2) habe ich folgende Frage:
> Ich nehme an, dass man hier zeigen soll, dass T eine
> unstetige lineare Abbildung ist:
> (i) dass sie linear ist:
> T(a*f+g)=(a*f+g)(1)=(a*f)(1)+g(1)=a*T(f)+T(g).
> (ii) dass sie unstetig ist: äquivalent, dass sie nicht in
> jedem Punkt f [mm]\in[/mm] C[0,1] stetig ist.D.h es gibt einen Punkt
> [mm]\psi \in[/mm] C[0,1] für den gilt: [mm]\limes_{f\rightarrow\ \psi}T(f)=f(1)\not= T(\psi)=\psi(1).[/mm]
>
> Wie kann man das jetzt beweisen? Insbesondere wie benutzt
> man hier ,dass [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{1}[/mm] eine Norm ist?
>
> Gruss
> Igor
Ich habe das Übungsblatt nicht sehen können, aber eins kann ich schon sagen: JEDE lineare Abbildung ist stetig!!!! Also ist deine Annahme sicherlich falsch!
Gruss,
logarithmus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:33 So 20.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo logarithmus,
ich weiß nicht, warum Du zum Übungsblatt nicht gelangen konntest, bei mir geht es eigentlich.
Am Anfang der Aufgabe steht:Zeigen Sie, dass es unstetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen gibt.
Gruss
Igor
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:53 So 20.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe das Übungsblatt nicht sehen können, aber eins kann
> ich schon sagen: JEDE lineare Abbildung ist stetig!!!!
Nein.
Es gilt viel mehr: in einem normierten Raum X gibt es nicht stetige lineare Funktionen von X nach [m]\IR[/m] genau dann wenn X unendlich dimensional ist.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 20.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ich nehme an, dass man hier zeigen soll, dass T eine
> unstetige lineare Abbildung ist:
> (i) dass sie linear ist:
Ja, zeig das doch mal!
> (ii) dass sie unstetig ist: äquivalent, dass sie nicht in
> jedem Punkt f [mm]\in[/mm] C[0,1] stetig ist.D.h es gibt einen Punkt
> [mm]\psi \in[/mm] C[0,1] für den gilt: [mm]\limes_{f\rightarrow\ \psi}T(f)=f(1)\not= T(\psi)=\psi(1).[/mm]
Äquivalent dazu, dass sie in 0 nicht stetig ist.
> Wie kann man das jetzt beweisen? Insbesondere wie benutzt
> man hier ,dass [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{1}[/mm] eine Norm ist?
Erstmal: ohne Norm gibt es keinen Stetigkeitsbegriff - man muss erst klären, welche Norm man hat und dann kann man damit arbeiten. Du musst eine Folge finden von [m]f_n[/m] mit [m]f_n(1)=1[/m], [m]f_n \to 0[/m] mittels der 1-Norm, aber [m]|f(1)|\to \infty[/m]. Anschaulich: Funktionen finden, deren Integral gegen Null, deren Wert bei 1 aber gegen Unendlich geht.
SEcki
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