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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - unterbestimmte gleichungssyste
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unterbestimmte gleichungssyste: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 So 08.12.2013
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Berechnen Sie die Lösungsmengen

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 }x= \vektor{1 \\ -3 \\ 4} [/mm]


[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 = 1 \\ 5 & 6 & 7 & 8 = -3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4} [/mm]

1 Zeile * (-5)+ 2 zeile:


[mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-4 &-8 &-12 =-8 \\ 0& 2 & 4 & 6 = 4} [/mm]

2 zeile * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + 1 zeile

[mm] \vmat{ 1 & 0 & -1 & -2 = -3 \\ 0 & -4 & -8 & -12 = -8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4} [/mm]

--------------------------------------------------------------------

III:    [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] = 4

[mm] \Rightarrow x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3} [/mm]

[mm] x_2=s, x_3=t \Rightarrow x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{s}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2t}{3} [/mm]


[mm] x_4 [/mm] in I einsetzen:


[mm] x_1- x_3-2(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}) [/mm] =-3

[mm] x_1= -5-2x_2-x_3 [/mm]

[mm] x_1= [/mm] -5-2s-t



[mm] x_4 [/mm] in II einsetzen:

[mm] -4(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}) -8x_3-12x_4 [/mm] = -8

[mm] 4x_2-16x_3-36x_4=16 [/mm]

[mm] x_2-4x_3-9x_4=4 [/mm]

[mm] x_2= 4+4x_3+9x_4 [/mm]

[mm] x_2= 4+4x_3+9(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}) [/mm]

[mm] x_2= 4+4x_3+6 -3x_2-6x_3 [/mm]

[mm] x_2=\bruch{5}{2}-2x_3= \bruch{5}{2}-2t [/mm]

ist das soweit erstmal richtig?


        
Bezug
unterbestimmte gleichungssyste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 So 08.12.2013
Autor: M.Rex


> Berechnen Sie die Lösungsmengen

>

> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 }x= \vektor{1 \\ -3 \\ 4}[/mm]

>

> [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 = 1 \\ 5 & 6 & 7 & 8 = -3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4}[/mm]

>

> 1 Zeile * (-5)+ 2 zeile:

>
>

> [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-4 &-8 &-12 =-8 \\ 0& 2 & 4 & 6 = 4}[/mm]

Bis hier passt alles

Außerdem würde ich jetzt erstmal II:4 und III:2 rechnen
[mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2}[/mm]

Das erleichtert das weitere Rechnen ungemein.
Addiere nun II und III, dann hast du eine Nullzeile und musst daher dann einen Parameter setzen.

Marius

Bezug
                
Bezug
unterbestimmte gleichungssyste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 So 08.12.2013
Autor: arbeitsamt

aber meine lösung ist auch richtig oder?

ich habe folgende lösungsmenge:

[mm] x_1= [/mm] -5-2s-t

[mm] x_2= \bruch{5}{2}-2t [/mm]

[mm] x_3= \bruch{5}{4}-\bruch{s}{2} [/mm]

[mm] x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{s}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2t}{3} [/mm]

[mm] \vektor{-5 \\ \bruch{5}{2} \\ \bruch{5}{4} \\ \bruch{2}{3}}+s\vektor{-2 \\ 0\\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3}}+t\vektor{-1 \\ -2\\ 0 \\ \bruch{2}{3}} [/mm]




Bezug
                        
Bezug
unterbestimmte gleichungssyste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 So 08.12.2013
Autor: M.Rex


> aber meine lösung ist auch richtig oder?

Warum so kompliziert?
$ [mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2} [/mm] $
II+III
$ [mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 0 & 0 & 0 = 0} [/mm] $

Die dritte Zeile ist nun eine Nullzeile, daher bekommst du parameterabhängige Lösungen.
Setze also [mm] x_{4}=t [/mm] und [mm] x_{3}=s [/mm]
Dann bekommst du aus Gleichung II

[mm] x_{2}=2-2s-3t [/mm]
und damit dann aus Gleichung I:
[mm] x_{1}=s+2t-3 [/mm]


>

> ich habe folgende lösungsmenge:

>

> [mm]x_1=[/mm] -5-2s-t

>

> [mm]x_2= \bruch{5}{2}-2t[/mm]

>

> [mm]x_3= \bruch{5}{4}-\bruch{s}{2}[/mm]

>

> [mm]x_4= \bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{s}{3}[/mm] - [mm]\bruch{2t}{3}[/mm]

>

> [mm]\vektor{-5 \\ \bruch{5}{2} \\ \bruch{5}{4} \\ \bruch{2}{3}}+s\vektor{-2 \\ 0\\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3}}+t\vektor{-1 \\ -2\\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]

>
Welcher Parameter ist bei dir was? Was ist t, was s?

Marius

Bezug
                                
Bezug
unterbestimmte gleichungssyste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 So 08.12.2013
Autor: arbeitsamt


> Warum so kompliziert?

ich habe die aufgabe schon so gelöst und aufgeschrieben. wenn es richtig ist kann ich es ja stehen lassen

>  Welcher Parameter ist bei dir was? Was ist t, was s?

[mm] s=x_2 [/mm] und [mm] t=x_3 [/mm]

steht auch im anfangsbereich ;)


EDIT:

>  [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2}[/mm]
>  
> II+III
>  [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 0 & 0 & 0 = 0}[/mm]
>  
> Die dritte Zeile ist nun eine Nullzeile, daher bekommst du
> parameterabhängige Lösungen.
>  Setze also [mm]x_{4}=t[/mm] und [mm]x_{3}=s[/mm]
>  Dann bekommst du aus Gleichung II
>  
> [mm]x_{2}=2-2s-3t[/mm]
>  und damit dann aus Gleichung I:
>  [mm]x_{1}=s+2t-3[/mm]

hier müsste man noch nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] umstellen oder?

Bezug
                                        
Bezug
unterbestimmte gleichungssyste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 So 08.12.2013
Autor: tonno

Wenn du schon s,t hast und damit [mm] x_2 [/mm] bzw. [mm] x_3, [/mm] dann rechne mit Zeile II [mm] x_4 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_2,x_3 [/mm] aus. Und dann damit schließlich [mm] x_1 [/mm] via Zeile I. Damit dann die Lösungsmenge bilden und fertig.

Bezug
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