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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:49 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier eine Verstaendnisfrage zu dieser Aufgabe.
Und zwar geg. sei der Unterraum U = < u1, u2> mit dem kanon. skalarprodukt und y [mm] \in \IR^{3}, [/mm] u1 = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, [/mm] u2= [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1} [/mm] , y = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
ich soll nun die orthogonale projektion von y auf U bestimmen und das Lot auf U mit Laenge bestimmen. Eigentlich ist das gar nicht so schwer. Mein Problem ist, ich hab das Skalarprodukt von u1 und u2 ausgerechnet und dann kommt fuer den UR U eine Zahl heraus. ich weiss jetzt nicht, wie ich die orthogonale Porjektion von y auf U bestimmen soll, da U ja eine Zahl ist.
ich komme, es kann mir jemand erklaeren, wo mein Fehler liegt.
Danke, Moe007
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:35 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal versucht, diese Aufgabe zu lösen, und bin auf folgende Ergebnisse gekommen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das richtig ist und hoffe deshalb um Korrektur, wenn es falsch ist.
Bei er a) sollte man ja die orthogonale Projektion von y auf U bestimmen.
Hier hab ich zuerst das Schmidsche Orthonormalisierungsverfahren angewendet, um e1 und e2 (Einheitsvektoren zu berechnen.
Also e1 = [mm] \bruch{u1}{ \parallel u1 \parallel} [/mm]
[mm] \parallel [/mm] u1 [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{ \partial(u1,u1)} [/mm] = [mm] \wurzel{14}
[/mm]
Also ist e1 = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{14}} \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
e2 = [mm] \bruch{ \overline{u2}}{ \parallel \overline{u2} \parallel}
[/mm]
Mit [mm] \overline{u2}= [/mm] u2 - [mm] \partial(u2,e1)e1 [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{4}{7} \\ \bruch{1}{7} \\ \bruch{-2}{7}}
[/mm]
und [mm] \parallel [/mm] u2 [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{3}{7}}
[/mm]
Dann ist e2 = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{21}} \vektor{4 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Dann hab ich das Skalarprodukt von e1 und e2 berechnet und es kommt 0 heraus. Also sind e1 und e2 aufeinander senkrecht.
Um die orthogonale Projektion von y auf U zu bestimmen, hab ich diese Formel genommen: p = [mm] \partial(y,e1)e1 [/mm] + [mm] \partial(y,e2)e2 [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{3}{2} \\ 4 \\ \bruch{13}{2}}
[/mm]
Stimmt das, was ich da gemacht hab?
bei der b) hab ich ein paar Probleme. Und zwar sollte man das Lot von y auf U und seine Länge bestimmen.
Ich hab das Lot h := u1 [mm] \times [/mm] u2 gesetzt. Es kommt h = [mm] \vektor{-1\\ 2 \\ -1} [/mm] heraus. Ist das auch das Lot von y auf U?
dann hab ich versucht, die Eigenschaften des Lots nachgewiesen, nämlich
i) [mm] \partial(h,u1)=0 [/mm] und [mm] \partial(h,u2)=0
[/mm]
Das kommt auch tatsächlich heraus, also steht h senkrecht auf U
ii) y-h [mm] \in [/mm] <u1,u2>, d.h. [mm] \partial(y-h, [/mm] u1 [mm] \times [/mm] u2) =0
Und hier hab ich ein problem. Bei mir kommt für das Skalarprodukt nicht 0 heraus sondern -3. Wo liegt denn hier mein Fehler?? Es müsste doch y-h = p gelten. Aber bei mir stimmt das nicht.
Und bei der Berechnung von der Länge von h bin ich mir auch nicht sicher. Ich hab einfach den Satz von Pythagoras angewandt und ich erhalte [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{y-p} [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{3}{2}}
[/mm]
Stimmt das so? Ich bin mir total unsicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Danke Moe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo Moe,
> Um die orthogonale Projektion von y auf U zu bestimmen, hab
> ich diese Formel genommen:
> p = [mm]\partial(y,e1)e1[/mm] + [mm]\partial(y,e2)e2[/mm] = [mm]\vektor{ \bruch{3}{2} \\ 4 \\ \bruch{13}{2}}[/mm]
> Stimmt das, was ich da gemacht hab?
Wunderbar, passt!
> bei der b) hab ich ein paar Probleme. Und zwar sollte man
> das Lot von y auf U und seine Länge bestimmen.
> Ich hab das Lot h := u1 [mm]\times[/mm] u2 gesetzt. Es kommt h =
> [mm]\vektor{-1\\ 2 \\ -1}[/mm] heraus. Ist das auch das Lot von y
> auf U?
> dann hab ich versucht, die Eigenschaften des Lots
> nachgewiesen, nämlich
> i) [mm]\partial(h,u1)=0[/mm] und [mm]\partial(h,u2)=0[/mm]
> Das kommt auch tatsächlich heraus, also steht h senkrecht
> auf U
> ii) y-h [mm]\in[/mm] <u1,u2>, d.h. [mm]\partial(y-h,[/mm] u1 [mm]\times[/mm] u2) =0
> Und hier hab ich ein problem. Bei mir kommt für das
> Skalarprodukt nicht 0 heraus sondern -3. Wo liegt denn hier
> mein Fehler?? Es müsste doch y-h = p gelten. Aber bei mir
> stimmt das nicht.
Nein, weder y noch h liegen in der Ebene U.
Es gilt [mm]y - k \cdot h = p[/mm] (mit [mm] k \in \IR[/mm]).
Dieses k gilt es zu bestimmen. p, y und h kennst du.
> Und bei der Berechnung von der Länge von h bin ich mir
> auch nicht sicher. Ich hab einfach den Satz von Pythagoras
> angewandt und ich erhalte [mm]\parallel[/mm] h [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{y-p}[/mm] = [mm]\wurzel{ \bruch{3}{2}}[/mm]
> Stimmt das so? Ich bin mir total unsicher, ob ich überhaupt
> auf dem richtigen Weg bin.
Ich hab keine Ahnung, was du da gemacht hast. Pythagoras, da sind für mich Quadrate drin, aber [mm]\wurzel{ \bruch{3}{2}}[/mm] ist richtig.
Gruss, Crispy
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