unverzerrter Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 20.02.2010 | | Autor: | adi87 |
Hallo!
Ich weiß, dass es vlt ne dumme Frage ist, aber: unser Prof. wollte bei der Schätzung des Parameters einer Poissonvtlg die zwei Methoden arithmetisches Mittel und empirische Varianz vergleichen. (weil ja Var=EW)
Und dabei hat er aufgeschrieben (und es auch später benutzt), dass die emprische Varianz unverzerrt ist.
Aber normalerweise, bei unbekanntem Erwartungswert, muss man doch die korrigierte nehmen (also durch (n-1) dividieren statt durch n) um einen erwartungstreuen Schätzer zu erhalten.
Deswegen bin ich etwas verwirrt. Stimmt denn seine Aussage bei der Poissonvtlg? Wenn ja, wie zeigt man das? Oder hat er sich einfach verschrieben?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich habe zwar erst eine Vorlesung zu dem Thema hinter mir, würde aber behaupten, dass du Recht hast.
> Hallo!
> Ich weiß, dass es vlt ne dumme Frage ist, aber: unser
> Prof. wollte bei der Schätzung des Parameters einer
> Poissonvtlg die zwei Methoden arithmetisches Mittel und
> empirische Varianz vergleichen. (weil ja Var=EW)
> Und dabei hat er aufgeschrieben (und es auch später
> benutzt), dass die emprische Varianz unverzerrt ist.
Wenn der Erwartungswert bekannt ist, stimmt das ja.
> Aber normalerweise, bei unbekanntem Erwartungswert, muss
> man doch die korrigierte nehmen (also durch (n-1)
> dividieren statt durch n) um einen erwartungstreuen
> Schätzer zu erhalten.
Genau.
> Deswegen bin ich etwas verwirrt. Stimmt denn seine Aussage
> bei der Poissonvtlg? Wenn ja, wie zeigt man das? Oder hat
> er sich einfach verschrieben?
Unabhängig von der Verteilung ist die korrigierte Varianz ein erwartungstreuer Schätzer, genauso wie die empirische mit bekanntem Erwartungswert. Aber eben nicht
[mm] $\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}(X_{k}-\overline{X_{n}})^{2}$.
[/mm]
Vielleicht solltest du zur "genaueren Analyse" mal grob aufschreiben, was der Herr Prof. getan hat.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 20.02.2010 | | Autor: | adi87 |
Hallo,
also eig ist da nicht wirklich viel noch zu erklären.
Er hat angeschrieben:
Im Falle einer Poissonverteilung sollen die zwei konkurrierenden Schätzer
[mm]\overline{X_n}[/mm] und [mm]S_n=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2[/mm] anhand ihrer Effizienz verglichen werden. ([mm]S_n[/mm] ist unverzerrt!!)
und dann macht er mit Cramer Rao Ungleichung und Fisher Information (und benutzt dann die unverzerrtheit) weiter, um zu zeigen, dass die Varianz von [mm]\overline{X_n}[/mm] kleiner ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Sa 20.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zeige, dass die Varianz von [mm] $\bar [/mm] X$ mit der RCU uebereinstimmt. Dann weisst du wenigstens schon einmal, dass [mm] $\text{Var}[\bar X]\le \text{Var}[\hat\sigma^2]$. [/mm] Das ist allerdings erst die halbe Miete...
vg Luis
PS: *Wo* ist euer Skript online?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 20.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin adi87,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wie Stefan bereits sagte, hast du Recht, d.h.,
[mm] $\hat\sigma^2=\frac{1}{n-1}\cdot{}\sum_{k=1}^{n}(X_{k}-\overline{X_{n}})^{2}$
[/mm]
ist erwartungstreu. Fuer die Varianz gilt
[mm] $\text{Var}[\hat\sigma^2]=\frac{1}{n}\left(\mu_4-\dfrac{n-3}{n-1}\mu_2^2\right)$
[/mm]
mit [mm] $\mu_j=\text{E}[(X-\text{E})^j]$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Sa 20.02.2010 | | Autor: | adi87 |
@ beide.
ja eigentlich bin ich mir ja auch sicher, dass ich recht habe und dieses skript is soooowas von beshceuert (mit 10000fehlren drin), aber trotzdem war ich ein wenig stutzig.
weil er halt wirklich dann bei den berechnungen erwartungstreue und [mm]\bruch{1}{n}[/mm] benutzt!!!
und das ist das online skript, aus dem schon 2-3 profs gelesen haben (und es wurde mehrmals ausgebessert)...
naja kein kommentar.
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