v eines Punktes mit kart.Koor. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo!
Ich sitze gerade an dem Problem, dass ich die "Geschwindigkeit" eines Punktes im dreidimensionalen Raum nur durch seine kartesischen Koordinaten und deren Ableitungen darstellen möchte. Ehrlich gesagt weiß ich aber nicht, wie ich das anstellen soll...
Die Geschwindigkeit in x-Richtung ist x'(t)
Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist y'(t)
Die Geschwindigkeit in z-Richtung ist z'(t)
Aber was ist die momentane Geschwindigkeit eines Punktes P(x,y,z)?
Splittet man einfach auf und sagt:
P(x',y',z')
?
Ich brauche das im Zusammenhang mit der Berechnung der kinetischen Energie eines Massenpunkts eines Doppelpendels, wo die Gleichung
[mm] E_{kin} [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}*v^{2}
[/mm]
auftritt und nun weiß ich eben nicht, was ich als Geschwindigkeit einsetzen soll, wenn ich doch nur die kartesischen Koordinaten des Punktes gegeben habe...
Kann mir bitte jemand (au die Sprünge) helfen?
Vielen Dank für Eure Mühe,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 21.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] v^2=x'^2+y'^2+z'^2
[/mm]
auch bei nem normalen Pendel kriegst du doch v(t) nur als s'(t).
Nur ein pkt kann ja nicht gegeben sein. Dessen Geschw. ist doch durch irgendwas gegeben.
Schreib lieber die richtige Aufgabe, als dass wir hier rumraetseln.
Gruss leduart
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Hallo!
Zunächst danke für deine Antwort!
Es gibt leider keine konkrete Aufgabe. Ich habe Funktionen
[mm]x(t), y(t), z(t)[/mm]
welche die Koordinaten eines Punktes [mm]P(x(t),y(t),z(t))[/mm] in Abhängigkeit von t beschreiben. Diese kenne ich aber nicht (DGL...)
Dann wäre doch der zurückgelegte Weg zu beschreiben als
[mm]s(t) = \sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}[/mm]
und somit
[mm]v(t) = s'(t) = \bruch{1}{2*\sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}}*(2*x(t)*x'(t) + 2*y(t)*y'(t) + 2*z(t)*z'(t)) = \bruch{x(t)*x'(t) +y(t)*y'(t) +z(t)*z'(t)}{\sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}}[/mm]
?
Ich wundere mich eben bloß, weil du dann für [mm] v^{2}(t) [/mm] was anderes als ich herausbekommst:
[mm]v^{2}(t) = \left(\bruch{x(t)*x'(t) +y(t)*y'(t) +z(t)*z'(t)}{\sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}}\right)^{2} = \bruch{\left(x(t)*x'(t) +y(t)*y'(t) +z(t)*z'(t)\right)^{2}}{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}[/mm]
Stimmt das?
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 21.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
> Es gibt leider keine konkrete Aufgabe. Ich habe
> Funktionen
>
> [mm]x(t), y(t), z(t)[/mm]
>
> welche die Koordinaten eines Punktes [mm]P(x(t),y(t),z(t))[/mm] in
> Abhängigkeit von t beschreiben. Diese kenne ich aber nicht
> (DGL...)
> Dann wäre doch der zurückgelegte Weg zu beschreiben als
>
> [mm]s(t) = \sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t) + z^{2}(t)}[/mm]
Nein
nimm ein konkretes Beispiel: nur 2d
[mm] x(t)=cos\omega*t
[/mm]
[mm] y(t)=sin\omega*t
[/mm]
dann siehst du sofort, dass deine Formel nicht den weg, sondern den Abstand des Punktes von (0,0) beschreibt. er ist hier zu jedem Zeitpkt 1
Der Punkt bewegt sich aber mit [mm] v=\omega*1m [/mm] oder
[mm] v_x=-\omega*sin\omega*t
[/mm]
[mm] v_y= \omega*cos\omega*t
[/mm]
ich weiss nicht genau, was du mit s(t) meinst, ich denke aber doch die "Kurvenlaenge" des Weges
also
[mm] s(t1)=\integral_{0}^{t_1}{\wurzel{x'^2+y'^2+z'^2} dt}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo!
Danke, dass du mir die Augen noch weiter geöffnet hast. Da habe ich wohl Mist geschrieben. Das habe ich mir auch schon beim Hinschreiben gedacht, dass das irgendwie komisch ist, aber mir ist nichts besseres eingefallen...
Stefan.
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Du hast also einen Punkt mit den Lagekoordinaten x(t), y(t) und z(t) gegeben.
Daraus lässt sich ein Lagevektor [mm] \vec r_P [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} [/mm] aufstellen.
Die Geschwindigkeit [mm] \vec v_P [/mm] ist die zeitliche Ableitung dieses Vektors, also:
[mm] \bruch{d\vec r_P}{dt}=\begin{pmatrix} \bruch{dx(t)}{dt} \\ \bruch{dy(t)}{dt} \\ \bruch{dz(t)}{dt} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_x (t) \\ v_y (t) \\ v_z (t) \end{pmatrix}=\vec v_P
[/mm]
Und
[mm] \vec{v}^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \dot x(t)^2+ \dot y(t)^2+ \dot z(t)^2
[/mm]
Hoffe das hilft dir bei deiner Aufgabenstellung.
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort! Habe aber noch ein Problem (s.u.)
> Du hast also einen Punkt mit den Lagekoordinaten x(t), y(t)
> und z(t) gegeben.
>
> Daraus lässt sich ein Lagevektor [mm]\vec r_P[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}[/mm]
> aufstellen.
>
> Die Geschwindigkeit [mm]\vec v_P[/mm] ist die zeitliche Ableitung
> dieses Vektors, also:
>
> [mm]\bruch{d\vec r_P}{dt}=\begin{pmatrix} \bruch{dx(t)}{dt} \\ \bruch{dy(t)}{dt} \\ \bruch{dz(t)}{dt} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_x (t) \\ v_y (t) \\ v_z (t) \end{pmatrix}=\vec v_P[/mm]
Bis hierher gehe ich in meinem Verständnis mit.
> Und
>
> [mm]\vec{v}^2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\dot x(t)^2+ \dot y(t)^2+ \dot z(t)^2[/mm]
Die Formel für die kinetische Energie verlangt ja für v eigentlich einen Wert, also eine Zahl. Ich verstehe nicht, wieso man [mm] v^{2} [/mm] als Skalarprodukt interpretieren kann... Für mich wäre [mm] v^{2} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix}[/mm]
(wie oben), und aber damit gar nicht berechbar nach Matrizenregeln. Warum geht das?
Stefan.
> Hoffe das hilft dir bei deiner Aufgabenstellung.
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Hallo!
Ja, die Energie verlangt nach dem Quadrat des Betrages der Geschwindigkeit, also [mm] |\vec{v}|^2
[/mm]
Nur, wie berechnet man denn die Länge eines Vektors? Doch genau mit [mm] |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} [/mm] und damit [mm] |\vec{a}|^2={a_x^2+a_y^2+a_z^2} [/mm] . Das ist einfach Pythagoras! Aber es ist eben auch gleich dem Skalar-Produkt des Vektors mit sich selbst: [mm] \vec{a}\ast\vec{a}
[/mm]
Man schreibt nun abkürzend [mm] |\vec{v}|^2=\vec{v}^2=v^2
[/mm]
Aber mit Matrizen hat das reingar nichts zu tun.
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Hallo!
Danke für deine Antwort, jetzt weiß ich warum das funktioniert 
Ich wusste nicht genau, wo ich diese Konventionen [mm] (|v|^{2}) [/mm] nachschauen sollte, deswegen musste ich die Frage stellen
Stefan.
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