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| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren und es sei
[mm] \vec{c}:= \bruch{\vec{a}}{\vec{|a|}}+\bruch{\vec{b}}{\vec{|b|}}[/mm]
Zeigen Sie sowohl mittels Zeichnung als auch mittels Rechnung, dass (für[mm] \vec{c}\not= 0[/mm]) der Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] gleich dem Winkel zwischen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ist.
Hinweis: Die Zeichenebene sollte sinnvollerweise die Ebene sein, die von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannt wird. |
Es sind meine ersten Schritte mit Vektoren, und da stellen sich mir eine Menge Fragen.
In der Aufgabe heisst es, für [mm] \vec{c}\not= 0[/mm]. Dann ist [mm] \vec{c} [/mm] ein Normierter Vektor. Dann hat [mm] \vec{c} [/mm] die Länge Eins?
Wie ist es jetzt mit den Beträgen der Vektoren [mm] \vec{|a|} [/mm] und [mm] \vec{|b|} [/mm], kann ich die Brüche jetzt einfach kürzen, ändern sich die Vorzeichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Di 18.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo tim
> Es seien [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] zwei vom Nullvektor
> verschiedene Vektoren und es sei
> [mm]\vec{c}:= \bruch{ç}{\vec{|a|}}+\bruch{\vec{b}}{\vec{|b|}}[/mm]
>
> Zeigen Sie sowohl mittels Zeichnung als auch mittels
> Rechnung, dass (für[mm] \vec{c}\not= 0[/mm]) der Winkel zwischen
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] gleich dem Winkel zwischen [mm]\vec{b}[/mm] und
> [mm]\vec{c}[/mm] ist.
> Hinweis: Die Zeichenebene sollte sinnvollerweise die Ebene
> sein, die von den Vektoren [mm]\bruch{ç}{\vec{|a|}}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] aufgespannt
> wird.
> Es sind meine ersten Schritte mit Vektoren, und da stellen
> sich mir eine Menge Fragen.
> In der Aufgabe heisst es, für [mm]\vec{c}\not= 0[/mm]. Dann ist
> [mm]\vec{c}[/mm] ein Normierter Vektor. Dann hat [mm]\vec{c}[/mm] die Länge
> Eins?
Nein, es bedeutet nur, dass [mm] \vec{a}nicht [/mm] genau [mm] -\vec{b} [/mm] ist. dagegen ist
[mm] \bruch{ç}{|\vec{a}|} [/mm] ein normierter Vektor, weil ja durch seine Länge geteilt wird.
du zeichnest also einfach 2 beliebige gleichlange Vektoren und ihre Summe. das sollte die Winkelhalbiernde geben!
rechnerisch solltest du den Beweis mit dem Skalarprodukt machen. Kennst du das?
> Wie ist es jetzt mit den Beträgen der Vektoren [mm]\vec{|a|}[/mm]
> und [mm]\vec{|b|} [/mm], kann ich die Brüche jetzt einfach kürzen,
> ändern sich die Vorzeichen?
Nein, die Brüche kannst du nicht kürzen, oben steht ein Vektor, der ne Richtung hat, oder im Koordinatensystem eine Darstellung wie z. Bsp (1,2,3) unten steht die Länge, also eine Zahl!
Du sollst mit den allgemeinen Ausdrücken rechnen, und darfst dabei benutzen dass
[mm] \vec{b}*\vec{b}=|\vec{b}|^2 [/mm] ist. und [mm] |\vec{b}|^2 [/mm] kannst du auch gegen [mm] |\vec{b}| [/mm] kürzen.
Gruss leduart
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habe noch fragen zu der rechnerischen variante.
[mm] \vec{|a|}[/mm] ist jetzt ein vielfaches von [mm] \vec{a}[/mm], richtig?
verstehe das Skalarprodukt jetzt nicht, das bedeutet doch eigentlich, dass [mm] \vec{a}[/mm] mit einer reellen zahl multipliziert wird.
ich würde die aufgabe jetzt eigentlich wie folgt rechenen:
cos[mm] \alpha[/mm]= [mm] \bruch{\vec{c}}{\bruch{\vec{b}}{|b|}}[/mm]= cos[mm] \beta[/mm]= [mm] \bruch{\vec{c}}{\bruch{\vec{a}}{|a|}}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 19.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\vec{|a|}[/mm] ist jetzt ein vielfaches von [mm]\vec{a}[/mm], richtig?
Nein!!! Du hast das mit den Vektoren falsch verstanden: Nimm einen Bleistift auf dem Tisch: Wenn du ihn und seine Lage beschreiben willst musst du doch die Richtung etwa zu den 2 Tischkanten angeben. Dann kannst du auch noch seine Länge angeben, das ist der Betrag.Und das ist doch nicht ein Vielfaches der Lage. Nochmal: der Betrag ist eine reelle Zahl, ein Vektor etwas ganz anderes! ein Tripel von Zahlen in einem Koordinatensystem!
> verstehe das Skalarprodukt jetzt nicht, das bedeutet doch
> eigentlich, dass [mm]\vec{a}[/mm] mit einer reellen zahl
> multipliziert wird.
Nein! das sog. Skalarprodukt von 2 Vektoren gibt wieder eine reelle Zahl , du multiplizierst die Komponenten und addierst sie.
Etwas anderes ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, da wird der Vektor einfach verlängert(oder verkürzt.
Für das Skalarprodukt 2er Vektoren gilt dann:
[mm] cos\alpha=\bruch{\vec{c}}{|\vec{c}|}*\bruch{\vec{b}}{|\vec{b}|}
[/mm]
Man kann auf keinen Fall also NIE Vktoren durcheinander dividieren!
> ich würde die aufgabe jetzt eigentlich wie folgt rechenen:
> cos[mm] \alpha[/mm]= [mm]\bruch{\vec{c}}{\bruch{\vec{b}}{|b|}}[/mm]= cos[mm] \beta[/mm]=
> [mm]\bruch{\vec{c}}{\bruch{\vec{a}}{|a|}}[/mm]
Das ist leider sehr falsch!
Gruss leduart
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