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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 06.01.2006 | | Autor: | kotek |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und P : V [mm] \toV [/mm] eine lineare Abbildung mit [mm] P^{2}=P. [/mm] Man zeige,
dass
V = [mm] P^{-1}( [/mm] {0}) [mm] \oplus [/mm] P(V). |
erstens hallo
naja und kann mir jemand dabei helfen?...
bitte... ich weiss nicht wo und wie soll ich anfangen
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kotek!
Schau, für einen beliebigen $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] V$ gilt stets $n=dim(Bild(f))+dim(Kern(f))$.
Deine Aufgabe ist zu zeigen, dass [mm] $V=Kern(f)\oplus [/mm] Bild(f)$, wenn [mm] $f=f^2$. [/mm] Das einzige, was zu zeigen bleibt, ist also [mm] $Kern(f)\cap Bild(f)=\{0\}$.
[/mm]
Zum Beweis nimm an, dass [mm] $v\in Bild(f)\cap [/mm] Kern(f)$. Da [mm] $v\in [/mm] Bild(f)$, gibt es ein [mm] $v'\in [/mm] V$ mit $v=f(v')$. Was folgt nun aus [mm] $v\in [/mm] Kern(f)$? Versuche dabei die Voraussetzung [mm] $f^2=f$, [/mm] d.h. $f(f(v)=f(v)$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$, anzuwenden.
Versuch' es doch bitte einmal.
Liebe Grüße,
Hanno
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