verschiedene Nullstellen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]f = X^3 - 3X + 1 \in Q[X][/mm]. Zu zeigen:
a) f ist irreduzibel in Q[X] und hat drei verschiedene Nullstellen in [mm]\IR[/mm].
b) Ist [mm]\alpha\in \IR[/mm] eine Nullstelle, dann sind [mm]\alpha^2 -2[/mm] und [mm]2-\alpha -\alpha^2[/mm] die anderen beiden.
c) [mm]Q(\alpha)/Q[/mm] ist Galois mit Galoisgruppe [mm]A_3 \cong C_3[/mm]. |
zu a) Ich verwende Zwischenwertsatz für jede Nullstelle. Geht das auch geschickter?
zu b) Ich habe keine Ahnung. Ich habe versucht die Linearkombination über [mm] $\IC$ [/mm] rückngängig zu machen
[mm] \left( x-\alpha \right) \left( x-{\alpha}^{2}+2 \right) \left( x-2+\alpha+{\alpha}^{2} \right)
[/mm]= [mm]{x}^{3}+3\,x{\alpha}^{2}-x{\alpha}^{3}-x{\alpha}^{4}-4\,x+2\,\alphax-4\,{\alpha}^{3}+{\alpha}^{4}+{\alpha}^{5}+4\,\alpha-2\,{\alpha}^{2}
[/mm]
So viel weiter hat es mich aber auch nicht gebracht. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?
zu c) so weit bin ich noch nicht.
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> Sei [mm]f = X^3 - 3X + 1 \in Q[X][/mm]. Zu zeigen:
> a) f ist irreduzibel in Q[X] und hat drei verschiedene
> Nullstellen in [mm]\IR[/mm].
> b) Ist [mm]\alpha\in \IR[/mm] eine Nullstelle, dann sind [mm]\alpha^2 -2[/mm]
> und [mm]2-\alpha -\alpha^2[/mm] die anderen beiden.
> c) [mm]Q(\alpha)/Q[/mm] ist Galois mit Galoisgruppe [mm]A_3 \cong C_3[/mm].
>
>
> zu a) Ich verwende Zwischenwertsatz für jede Nullstelle.
> Geht das auch geschickter?
Das ist schon in Ordnung. Du weißt ja wie ein ein Polynom vom Grad 3 aussieht. Dann kannst du zwischen den Extrema und zwei weiteren Punkten Nullstellen finden.
>
> zu b) Ich habe keine Ahnung. Ich habe versucht die
> Linearkombination über [mm]\IC[/mm] rückngängig zu machen
> [mm]\left( x-\alpha \right) \left( x-{\alpha}^{2}+2 \right) \left( x-2+\alpha+{\alpha}^{2} \right) [/mm]=
> [mm]{x}^{3}+3\,x{\alpha}^{2}-x{\alpha}^{3}-x{\alpha}^{4}-4\,x+2\,\alphax-4\,{\alpha}^{3}+{\alpha}^{4}+{\alpha}^{5}+4\,\alpha-2\,{\alpha}^{2}[/mm]
> So viel weiter hat es mich aber auch nicht gebracht. Kann
> mir bitte jemand einen Tipp geben?
Die Idee ist nicht schlecht. Doch so herum sieht man es nicht wirklich. Nimm doch die andere Richtung. Führe doch einfach Polynomdivision durch. Es sollten sich keine reste ergeben. Wichtig: [mm] $0=f(\alpha)=\alpha^3-3\alpha+1$ [/mm] !!!
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> zu c) so weit bin ich noch nicht.
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> > Sei [mm]f = X^3 - 3X + 1 \in Q[X][/mm]. Zu zeigen:
> > a) f ist irreduzibel in Q[X] und hat drei verschiedene
> > Nullstellen in [mm]\IR[/mm].
> > b) Ist [mm]\alpha\in \IR[/mm] eine Nullstelle, dann sind
> [mm]\alpha^2 -2[/mm]
> > und [mm]2-\alpha -\alpha^2[/mm] die anderen beiden.
> > c) [mm]Q(\alpha)/Q[/mm] ist Galois mit Galoisgruppe [mm]A_3 \cong C_3[/mm].
>
> >
> >
> > zu a) Ich verwende Zwischenwertsatz für jede Nullstelle.
> > Geht das auch geschickter?
> Das ist schon in Ordnung. Du weißt ja wie ein ein Polynom
> vom Grad 3 aussieht. Dann kannst du zwischen den Extrema
> und zwei weiteren Punkten Nullstellen finden.
Ok. Dann habe ich das richtig.
> >
> > zu b) Ich habe keine Ahnung. Ich habe versucht die
> > Linearkombination über [mm]\IC[/mm] rückngängig zu machen
> > [mm]\left( x-\alpha \right) \left( x-{\alpha}^{2}+2 \right) \left( x-2+\alpha+{\alpha}^{2} \right) [/mm]=
> >
> [mm]{x}^{3}+3\,x{\alpha}^{2}-x{\alpha}^{3}-x{\alpha}^{4}-4\,x+2\,\alphax-4\,{\alpha}^{3}+{\alpha}^{4}+{\alpha}^{5}+4\,\alpha-2\,{\alpha}^{2}[/mm]
> > So viel weiter hat es mich aber auch nicht gebracht.
> Kann
> > mir bitte jemand einen Tipp geben?
> Die Idee ist nicht schlecht. Doch so herum sieht man es
> nicht wirklich. Nimm doch die andere Richtung. Führe doch
> einfach Polynomdivision durch. Es sollten sich keine reste
> ergeben. Wichtig: [mm]0=f(\alpha)=\alpha^3-3\alpha+1[/mm] !!!
Also ich kann [mm]x^3-3x+1=(x-2+a+a^2)(x-a^2+2)(x-a)[/mm] schreiben. Damit sind das alle Nullstellen.
> >
> > zu c) so weit bin ich noch nicht.
Jetzt wäre ich soweit. Ich habe doch den Zerfällungskörper
[mm]L=\IQ(\alpha,\alpha^2-2,2-\alpha-\alpha^2)[/mm]. Wie geht das Weiter? Ich muss zeigen, dass die Erweiterung normal und separabel ist. Separabel ist sie ja, weil keine doppelte Nullstelle vorliegt. Und nomal ist sie, weil in L das Polynom in lineare Faktoren zerfällt. Reicht das?
wie kann ich die Verbindung von der Erweiterung zu [mm]A_3\cong S_3[/mm] herstellen. Ich muss ja zeigen, dass die Erweiterungs isomorph zu [mm]S_3[/mm] ist. Also reicht zu zeigen, dass sie nur 6=1*2*3 Elemente hat. Doch wie geht das?
Kann mir da bitte jemand helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jetzt wäre ich soweit. Ich habe doch den
> Zerfällungskörper
> [mm]L=\IQ(\alpha,\alpha^2-2,2-\alpha-\alpha^2)[/mm]. Wie geht das
Und du solltest sofort sehen, dass dies gleich [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ist.
> Weiter? Ich muss zeigen, dass die Erweiterung normal und
> separabel ist. Separabel ist sie ja, weil keine doppelte
> Nullstelle vorliegt.
Insbesondere: weil [mm] $\IQ$ [/mm] Charakteristik 0 hat.
> Und nomal ist sie, weil in L das
> Polynom in lineare Faktoren zerfällt.
> Reicht das?
Nein. Wichtig ist, dass $L$ ein Zerfaellungskoerper ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Also der kleinste Koerper, ueber dem das Polynom in Linearfaktoren zerfaellt.
> wie kann ich die Verbindung von der Erweiterung zu [mm]A_3\cong S_3[/mm]
> herstellen. Ich muss ja zeigen, dass die Erweiterungs
> isomorph zu [mm]S_3[/mm] ist. Also reicht zu zeigen, dass sie nur
> 6=1*2*3 Elemente hat. Doch wie geht das?
Falls du schon weisst, dass eine separable normale Erweiterung Galoissch ist und somit $[L : [mm] \IQ]$ [/mm] Automorphismen besitzt, kannst du das sofort hinschreiben. Dazu eine Frage an dich: wieviele Gruppen der Ordnung 3 kennst du denn?
LG Felix
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