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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 11.09.2010 | | Autor: | wee |
Hallo,
Betrachtet man die C*_Algebra [mm] \mathcal{B}(\mathcal{H}) [/mm] der beschränkten Operatoren auf einen Hilbertraum [mm] \mathcal{H}, [/mm] kann darauf verschiedene Topologien betrachten.
Nun kann man ja zeigen, dass aus Normkonvergenz starke Operatorkonvergenz und aus starker Operatorkonvergenz schwache Operatorkonvergenz folgt (Für Netze natürlich).
Jetzt überlege ich gerade, ob man daraus folgern kann, welche der Topologien jeweil gröber ist, ob also z.B. die starke Operatortopologie gröber ist, als die Normtopologie?
Vielleicht kann mir hier jemand den Zusammenhang verdeutlichen.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Betrachtet man die C*_Algebra [mm]\mathcal{B}(\mathcal{H})[/mm] der
> beschränkten Operatoren auf einen Hilbertraum [mm]\mathcal{H},[/mm]
> kann darauf verschiedene Topologien betrachten.
>
> Nun kann man ja zeigen, dass aus Normkonvergenz starke
> Operatorkonvergenz und aus starker Operatorkonvergenz
> schwache Operatorkonvergenz folgt (Für Netze natürlich).
die folgenden Aussagen sind fuer zwei Topologien $S$ und $T$ aequivalent:
a) $S [mm] \subseteq [/mm] T$, also $S$ ist groeber als $T$;
c) jedes Netz, was bzgl. $T$ konvergiert, konvergiert auch bzgl. $S$.
Das folgt daraus, dass sich offene und abgeschlossene Mengen mit konvergenten Netzen charakterisieren lassen:
z.B. ist $O$ genau dann offen, wenn es zu jedem Netz [mm] $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ [/mm] mit Grenzwert $x [mm] \in [/mm] O$ ein [mm] $\alpha_0$ [/mm] gibt mit [mm] $x_\alpha \in [/mm] O$ fuer alle [mm] $\alpha \ge \alpha_0$.
[/mm]
> Jetzt überlege ich gerade, ob man daraus folgern kann,
> welche der Topologien jeweil gröber ist, ob also z.B. die
> starke Operatortopologie gröber ist, als die
> Normtopologie?
Ja, siehe oben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Sa 11.09.2010 | | Autor: | wee |
Allerbesten Dank, nach so etwas habe ich gesucht![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 11.09.2010 | | Autor: | wee |
Hallo nochmal,
mir fiehl dazu gerade noch eine Frage ein:
Wenn man jetzt in der Situation eine normstetige Abbildung betrachtet und die Normtopologie ja feiner ist, als die starke Operatortopologie. Ist dann die normstetige Abbildung automatisch auch stetig bzgl. der starken Operatortopologie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> mir fiehl dazu gerade noch eine Frage ein:
>
> Wenn man jetzt in der Situation eine normstetige Abbildung
> betrachtet und die Normtopologie ja feiner ist, als die
> starke Operatortopologie. Ist dann die normstetige
> Abbildung automatisch auch stetig bzgl. der starken
> Operatortopologie?
Das haengt stark davon ab, welche Topologie du genau aenderst.
Wenn du eine Funktion $f : X [mm] \to [/mm] Y$ zwischen topologischen Raeumen $X$ und $Y$ hast, die stetig ist, und die Topologie von $X$ verfeinerst (also mehr offene Mengen da sind), dann ist $f$ immer noch stetig. Wenn du die Topologie auf $Y$ vergroeberst (also weniger offene Mengen), dann bleibt es auch stetig.
Verfeinerst du aber die Topologie auf $Y$ oder vergroeberst die auf $X$, so muss es nicht mehr stetig sein.
Wenn du also hier $X = Y$ hast und beides mal die gleiche Topologie, muss die Abbildung nach Verfeinern auf beiden Seiten nicht mehr stetig sein.
Wenn du aber etwa ein lineares Funktional hast, dann aendert sich die Topologie auf $Y$ (was ja [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] ist) nicht und die Stetigkeit bleibt beim Verfeinern erhalten.
Es kann auch gut sein, dass allgemein stark operatorstetige lineare(!) Abbildungen auch stetig bzgl. der Normtopologie sind (so genau weiss ich das nicht mehr, deswegen "kann gut sein"), aber so etwas muss man erstmal beweisen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:52 So 12.09.2010 | | Autor: | wee |
Hallo,
Erstmal vielen Dank Felix. Eine (hoffentlich) letzte Frage habe ich noch zu den Thema.
Wenn man jetzt eine Menge [mm] \mathcal{N} [/mm] hat mit folgenden Eigenschaften:
i) [mm] \mathcal{N} [/mm] ist abgeschlossen bzlg. der starken Operatortopologie
ii) [mm] \mathcal{N} [/mm] ist abgeschlossen bzgl. der schwachen Operatortopologie
iii) [mm] \mathcal{N} [/mm] ist abgeschlossen bzgl. schwach-*-Topologie
Kann man dann sagen, dass jedes Funktional auf [mm] \mathcal{N} [/mm] stetig ist bzgl. jeder der drei Topologien?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 14.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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