vollst. Induktion, Ableitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 26.02.2007 | | Autor: | LAmamba |
Nen Abend,
Ich habe bei der vollständigen Induktion für die Ableitung der Potenzfunktion nun den 1. Schritt hinbekommen, er lautet:
A(n)=nx^(n-1) für n=1:
[mm] <=>1=x^0
[/mm]
<=>1=1, also wahr!
Nun scheitere ich aber beim 2. Schritt, ich habe mir bisher überlegt:
A(n+1)=(n+1)x^((n+1)-1)
[mm] <=>n+1=(n+1)x^n [/mm] |/(n+1)
[mm] <=>1=x^n
[/mm]
wo ist nun mein fehler, wie kann ich das richtig beweisen?
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu :)
Beh: [mm] (x^n)' = n\cdot x^{n-1}[/mm]
I.A. hast du ja schon
I.V. Beh gelte für [mm]n[/mm]
I.S. [mm]n\longrightarrow n+1[/mm]
[mm](x^{n+1})' = (x^n \cdot x)' \underbrace{=}_{I.V. + Produktregel} nx^{n-1}\cdot x + x^n = nx^n + x^n = (n+1)x^n[/mm]
Voraussgesetzt, ihr dürft die Produktregel benutzen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 26.02.2007 | | Autor: | LAmamba |
OK, kann jemand wohl den schritt etwas genauer erklären, wie komme ich von (x^(n+1))' auf [mm] (x^n [/mm] * x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo LAmamba!
Hier wurde ein  Potenzgesetz angewandt: [mm] $a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m*a^n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 26.02.2007 | | Autor: | LAmamba |
danke schon mal, soweit habe ich alles nachvollziehen können, aber am ende steht hier nun [mm] (n+1)x^n.
[/mm]
Wie habe ich hiemit was bewiesen, diese formel kommt doch vorher nie vor, muss ich nicht etwas hier haben was zuvor da war das ich das beweise?
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> danke schon mal, soweit habe ich alles nachvollziehen
> können, aber am ende steht hier nun [mm](n+1)x^n.[/mm]
> Wie habe ich hiemit was bewiesen, diese formel kommt doch
> vorher nie vor, muss ich nicht etwas hier haben was zuvor
> da war das ich das beweise?
Hallo Lamamba,
das ist gerade die Idee, die hinter dem Beweis durch vollständige Induktion steckt.
Man zeigt, dass eine Aussage für ein [mm] n_0 [/mm] (hier [mm] n_0=1) [/mm] gilt [Induktionsanfang] und
[Induktionsschritt] dass, WENN sie für ein beliebiges n gilt [Induktionsvoraussetzung], sie DANN auch für n+1 gilt
Ist das der Fall, so gilt sie für alle [mm] n\in\IN [/mm] (bzw. für alle [mm] n\ge n_0)
[/mm]
Genauso gut kann man den Induktionsschritt von n-1 [mm] \rightarrow [/mm] n machen.
Mach das nicht so sehr an dem n+1 fest, das ist lediglich der letzte Beweisschritt, der zeigt, dass die Beh. für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Gruß
schachuzipus
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