vollst. induktion - produkt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollst. Induktion über n die Aussage
[mm] \produkt_{j=0}^{n} (1+x^{2^{j}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}
[/mm]
n=0,1,2,3,....., [mm] x\not=1 [/mm]
für das bessere verständnis des Zählers
also n+1 sind der exponent von der zwei
also wenn man es mit potenzgesetzen vereinfacht würde dastehen 1-x^(2(n+1))
genauso wie auf der linken seite das j im exponent von der 2 steht |
Also meine Lösung war bisher folgende
Induktionsanfang n=0
[mm] \produkt_{j=0}^{0} (1+x^{2^j}) [/mm] = [mm] 1+x^{2^0} [/mm] = [mm] 1+x^1= [/mm] 1+x
[mm] \bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^2}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{(1-x)(1+x)}{1-x} [/mm] = 1+x
Wenn ich nun Induktionsschritt mache
steht bei mir
[mm] \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] * [mm] (1+x^{2^{n+1}})
[/mm]
rauskommen soll ja
[mm] \bruch{1-x^{2^{n+1+1}}}{1-x}
[/mm]
ich komm da einfach nicht drauf
kann mir jemand weiterhelfen
wäre äußerst dankbar
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo carpe_noctum und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie mit vollst. Induktion über n die Aussage
>
> [mm]\produkt_{j=0}^{n} (1+x^{2^{j}})[/mm] =
> [mm]\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/mm]
>
> n=0,1,2,3,....., [mm]x\not=1[/mm]
> für das bessere verständnis des Zählers
> also n+1 sind der exponent von der zwei
>
> also wenn man es mit potenzgesetzen vereinfacht würde
> dastehen 1-x^(2(n+1))
>
> genauso wie auf der linken seite das j im exponent von der
> 2 steht
> Also meine Lösung war bisher folgende
>
> Induktionsanfang n=0
>
> [mm]\produkt_{j=0}^{0} (1+x^{2^j})[/mm] = [mm]1+x^{2^0}[/mm] = [mm]1+x^1=[/mm] 1+x
>
> [mm]\bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^2}{1-x}[/mm] =
> [mm]\bruch{(1-x)(1+x)}{1-x}[/mm] = 1+x
>
>
> Wenn ich nun Induktionsschritt mache
>
> steht bei mir
>
> [mm]\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/mm]*[mm](1+x^{2^{n+1}})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> rauskommen soll ja
>
> [mm]\bruch{1-x^{2^{n+1+1}}}{1-x}[/mm]
>
> ich komm da einfach nicht drauf
Na, was steht denn dort im Zähler: [mm] $(a-b)\cdot{}(a+b)$ [/mm] mit $a=1, [mm] b=x^{2^{n+1}}$
[/mm]
Nun? ...
>
>
> kann mir jemand weiterhelfen
> wäre äußerst dankbar
>
> gruß
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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sorry aber ich komm nicht drauf....hab mir schon gedacht dass es in eine richtung mit dem (a-b)(a+b) geht aber ich komm einfach nicht drauf wie man es auflöst
wenn du mir also noch ein bischen mehr helfen könntest wäre das super
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Hallo nochmal,
> sorry aber ich komm nicht drauf....hab mir schon gedacht
> dass es in eine richtung mit dem (a-b)(a+b) geht aber ich
> komm einfach nicht drauf wie man es auflöst
>
>
> wenn du mir also noch ein bischen mehr helfen könntest
> wäre das super
Na, 3.binomische Formel, würde ich meinen:
[mm] $\left(1-x^{2^{n+1}}\right)\cdot{}\left(1+x^{2^{n+1}}\right)=1^2-\left[x^{2^{n+1}}\right]^2=1-x^{2\cdot{}2^{n+1}}=1-x^{2^{\blue{1}}\cdot{}2^{\blue{n+1}}}=...$
[/mm]
Jetzt aber 
Gruß
schachuzipus
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hahahahahaha
wie blind man manchmal sein kann
ich glaub´s ja nicht.
hatte vor letztens eine sehr ähnliche aufgabe mit einem summenzeichen gerechnet und daher wollte ich auch diesmal den hinteren faktor auf den gleichen nenner bringen =) ohje da hätte ich aber lange rumgetüfftelt =)
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vielleich kannst du mir auch noch kurz bei der nächsten aufgabe helfen.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Die Summer der ersten n ungeraden Zahlen ist [mm] n^2 [/mm]
ich dachte jetzt
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2n-1) = [mm] n^2 [/mm]
[mm] n\in\IN
[/mm]
stimmt das von den gleichungen ????
weil wenn ich jetzt hier beginne habe ich
n= 1
[mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] (2n-1) = 1
und [mm] 1^2 [/mm] = 1
und bei der induktion dann
[mm] n^2 [/mm] + (2n+2-1) soll sein [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2
[/mm]
also würde von daher stimmen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Di 03.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja die Formel stimmt. jetzt los mit der Induktion, denk dran, dass du immer 2 weiter musst.
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wie meinst du das mit dem "immer 2 weiter" ?
stimmt die induktion nicht die ich oben im anschluss an die Formel gemacht habe ?
achja und bei der formel fällt mir doch noch grad ein kleiner fehler glaube ich auf
es muss wohl heisen
[mm] \summe_{i=1}^{n}(2i-1) [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
und nicht
[mm] \summe_{i=1}^{n}(2n-1) [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
oder??
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Hallo!
> wie meinst du das mit dem "immer 2 weiter" ?
>
> stimmt die induktion nicht die ich oben im anschluss an die
> Formel gemacht habe ?
Deine Induktion stimmt, leduart hatte sie bestimmt bloß übersehen. Du solltest es aber noch etwas ordentlicher aufschreiben 
Grüße,
Stefan
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Hallo Carpe,
ich denke du bist fertig mit der Aufgabe
>
> vielleich kannst du mir auch noch kurz bei der nächsten
> aufgabe helfen.
>
>
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Die Summer der
> ersten n ungeraden Zahlen ist [mm]n^2[/mm]
>
> ich dachte jetzt
>
> [mm]\summe_{\red{i}=1}^{n}[/mm] (2n-1) = [mm]n^2[/mm]
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> stimmt das von den gleichungen ????
ja, aber es ist ungeschickt hier als Laufindex das n zu verwenden, zumal es ja noch nicht einmal als Index angegeben ist, sondern "i"
Besser: [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2
[/mm]
> weil wenn ich jetzt hier beginne habe ich
>
> n= 1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1}[/mm] (2n-1) = 1
>
> und [mm]1^2[/mm] = 1
>
> und bei der induktion dann
>
> [mm]n^2[/mm] + (2n+2-1) soll sein [mm](n+1)^2[/mm]
>
> [mm]n^2+2n+1[/mm] = [mm](n+1)^2[/mm]
>
>
> also würde von daher stimmen...
ja, stimmt, Aufgabe gelöst.
Herzliche Grüße
Adamantan
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vielen Dank !!!
ihr wart eine sehr gute und vor allem sehr schnelle hilfe
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