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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 16.10.2014 | | Autor: | hubi92 |
| Aufgabe | Für alle n€N und a,b €R mit a ungleich b gilt
[mm] (a^n-b^n)/(a-b)= [/mm] Σ a^kb^(n-k-1) von k=0 bis n-1 |
Hallo ihr Lieben!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe zur vollständigen Induktion!
also man fängt ja an mit dem Induktonsanfang:
IA: n=1
linke Seite ensetzten ergebnis 1
rechte Seite einsetzetn ergebnis 1
dann der Induktionsschritt:
IS: Σ a^kb^(n-k-1) von k=0 bis n-1 --> Σ a^kb^(n-k) von k=0 bis n
da man ja für n n+1 einsetzt
jetzt komme ich allerdings nicht weiter.. bin mir auch bei meinem Ansatz nicht sicher und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
Danke =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 16.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo hubi92!
> Für alle n€N und a,b €R mit a ungleich b gilt
>
> [mm](a^n-b^n)/(a-b)=[/mm] Σ a^kb^(n-k-1) von k=0 bis n-1
Nutze doch aus Lesbarkeitsgründen bitte den Formeleditor. Die Aufgabe lautet also:
Zeige
[mm]\frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k-1}[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm] mit [mm]a,b\in\mathbb R[/mm] und [mm]a\not = b[/mm].
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich brauche mal wieder eure Hilfe zur vollständigen
> Induktion!
>
> also man fängt ja an mit dem Induktonsanfang:
> IA: n=1
>
> linke Seite ensetzten ergebnis 1
> rechte Seite einsetzetn ergebnis 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das solltest du aber schon ausführlicher aufschreiben...
Jetzt kommt erstmal die Induktionsvoraussetzung:
Es sei [mm]\frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k-1}[/mm] bereits für ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] bewiesen. (*)
> dann der Induktionsschritt:
> IS: Σ a^kb^(n-k-1) von k=0 bis n-1 --> Σ a^kb^(n-k) von
> k=0 bis n
> da man ja für n n+1 einsetzt
>
> jetzt komme ich allerdings nicht weiter.. bin mir auch bei
> meinem Ansatz nicht sicher und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt!
Welcher Ansatz?
Taucht bei der vollständigen Induktion eine Summe auf, spaltet man meist einzelne Summanden ab, um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können. Fangen wir also mal damit an. Wir wollen zeigen, dass
[mm]\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}[/mm].
Wir basteln jetzt an der Summe so rum, dass der Term [mm]\sum_{k=0}^{n-1} a^k \red{b^{n-k-1}}[/mm] auftaucht:
[mm]\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k}=\sum_{k=0}^{n-1} a^k \red{b^{n-k}}+ a^n[/mm]
Das passt noch nicht ganz (die rot markierten Faktoren sind nicht gleich), aber sie unterscheiden sich nur um den Faktor $b$.
Und jetzt bist du dran: Forme die letzte Summe noch ein klein wenig um und verwende dann die Induktionsvoraussetzung (*). Am Ende noch ein bisschen Bruchrechnen und du bist fertig!
Lieben Gruß,
Fulla
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