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Forum "Induktionsbeweise" - vollständige Induktion
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vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:35 Mo 26/02/2018
Author: jonas55

Aufgabe
Zeige

[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}*k^2=\frac{(-1)^{n+1}n(n+1)}{2} [/mm]

Hallo,

also IA klar, IV klar aber im IS hänge ich. Und zwar nachdem ich die IV einsetze...

[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}*k^2 [/mm] + [mm] (-1)^{n+2}*(n+1)^2 [/mm]

I.V.= [mm] \frac{(-1)^{n+1}n(n+1)}{2}+(-1)^{n+2}*(n+1)^2 [/mm]

so....
kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank!!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:56 Mo 26/02/2018
Author: M.Rex

Hallo

Dein schritt bisher hist korrekt, auch wenn er nicht gut notiert ist

[mm] \sum\limits_{k=0}^{n+1}(-1)^{k+1}\cdot k^{2} [/mm]
[mm] =\sum\limits_{k=0}^{n}\left[(-1)^{k+1}\cdot k^{2}\right]+\left((-1)^{n+1+1}\cdot(n+1)^{2}\right) [/mm]
Nun, nach I.V.
[mm] =\frac{(-1)^{n+1}n(n+1)}{2}+((-1)^{n+2}\cdot{}(n+1)^2) [/mm]

Meistens hilt es, das Ziel schon einmal zu notieren, hier in dem Fall ist dieses doch doch

[mm] =\frac{(-1)^{n+2}(n^{2}+3n+2)}{2} [/mm]
[mm] =\frac{(-1)^{n+2}(n+1)(n+2)}{2} [/mm]
[mm] =\frac{(-1)^{\green{(n+1)}+1}\green{(n+1)}(\green{(n+1)}+1)}{2} [/mm]

Bringe also durch Termumformungen den term [mm] \frac{(-1)^{n+1}n(n+1)}{2}+((-1)^{n+2}\cdot{}(n+1)^2) [/mm]
auf
[mm] \frac{(-1)^{n+2}(n^{2}+3n+2)}{2} [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:03 Mo 26/02/2018
Author: jonas55

.....
Bezug
        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:32 Mo 26/02/2018
Author: Diophant

Hallo,

nutze folgendes:

[mm] (-1)^{n+2}=-(-1)^{n+1} [/mm]

sowie

[mm] n^2+3n+2=n^2+n+2n+2=n*(n+1)+2*(n+1)=(n+1)*(n+2) [/mm]

Bringe alles auf einen gemeinsamen Nenner und nutze diese beiden Hinweise (es ist alles in allem eine sehr einfache Aufgabe).


Gruß, Diophant

Bezug
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