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vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 Mo 31.05.2021
Autor: Karl13

Aufgabe
Zu Zeigen:

[mm] (X+Y)^{n-1} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1}) [/mm]

Hallo MatheRaum-Community,

Ich würde gerne zu der oben genannten Frage mir ein paar Anregungen und Tipps holen.
Ich würde dies mit vollständiger Induktion zeigen.

(IA)
n=1
1= [mm] ((X+Y)^{0} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})= [/mm] 2
n=2
[mm] (X+Y)=(X+Y)^{1} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y) [/mm]
(IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm] \in \IN [/mm]
(IS) n [mm] \to [/mm] n+1 (zz. [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}) [/mm]
[mm] (X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV} [/mm] max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y) [/mm] = max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm]
So an dieser Stelle weiß ich nicht weiter. Ich muss ja kommen auf [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}). [/mm] Wie gehe ich hier am besten weiter vor? Und ist das bisher durchgeführte so korrekt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Mo 31.05.2021
Autor: fred97

Hallo Karl,

leider hast Du nicht gesagt aus welchem Zahlbereich X und Y stammen sollen.

Ich gehe mal von $X,Y [mm] \ge [/mm] 0$ aus. Für $n=1$ und $n=2$ ist die Sache klar.

Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $\max \{1,2^{n-2}\}= 2^{n-2}.$ [/mm] Es is also zu zeigen, dass


( [mm] \frac{x+y}{2})^{n} \le \frac{1}{2}(x^n+y^n) [/mm]

ist für $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ und $n [mm] \ge [/mm] 2.$

Das folgt aber aus der Tatsache, dass die Funktion [mm] $f(x)=x^n$ [/mm]  auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] konvex ist.

Bezug
        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Di 01.06.2021
Autor: HJKweseleit


> Zu Zeigen:
>  
> [mm](X+Y)^{n-1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})[/mm]
>  Hallo
> MatheRaum-Community,
>  
> Ich würde gerne zu der oben genannten Frage mir ein paar
> Anregungen und Tipps holen.
>  Ich würde dies mit vollständiger Induktion zeigen.
>  
> (IA)
>  n=1
>  1= [mm]((X+Y)^{0} \le[/mm] max (1, [mm]2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})=[/mm] 2
>  n=2
>  [mm](X+Y)=(X+Y)^{1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y)[/mm]
>  
> (IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>  (IS) n [mm]\to[/mm]
> n+1 (zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n})[/mm]


Wegen n>2 bzw. im Rückgriff auf n=2: [mm] n\ge [/mm] 2 ist max (1, [mm] 2^{n-1})=2^{n-1}, [/mm] damit

zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm]  [mm]2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n})[/mm]

Vorbemerkung:
[mm] 0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}), [/mm] da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind

[mm] \Rightarrow 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n [/mm]

[mm] \Rightarrow xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm]

[mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm]

Induktionsschritt:

[mm] (x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1}\le (x+y)*2^{n-2}*(x^{n-1}+y^{n-1}), [/mm]  falls [mm] (x+y)\ge [/mm] 0 [mm] ...=2^{n-2}*( x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n)\le [/mm]     (s. Vorbemerkung)  [mm] 2^{n-2}*2(x^n+y^n) =2^{n-1}*(x^n+y^n) [/mm]


Damit im Induktionsschritt das [mm] \le-Zeichen [/mm] erhalten bleibt, muss [mm] (x+y)\ge [/mm] 0 sein.

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Di 08.06.2021
Autor: Karl13

Hallo,
vielen Dank erstmal.

Leider ist zu dem Zahlenbereich aus dem X und Y stammen keine Anmerkung vorhanden. Aber es macht ja nur dann Sinn, wenn X und Y [mm] \ge [/mm] 0 sind, oder?
Ich versuche es nochmal vollständig aufzuschreiben und hoffe, dass ihr es dann nochmal überprüfen könnt und es dann so korrekt wäre.

Zu Zeigen:

$ [mm] (X+Y)^{n-1} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1}) [/mm] $
für X,Y [mm] \ge [/mm] 0.

(IA)
n=1
1= $ [mm] ((X+Y)^{0} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})= [/mm] $ 2
n=2
$ [mm] (X+Y)=(X+Y)^{1} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y) [/mm] $
(IV) Die Behauptung gelte für ein n $ [mm] \in \IN [/mm] $
(IS) n $ [mm] \to [/mm] $ n+1 (zz. $ [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}) [/mm] $


Zwischenüberlegung:

Für [mm] n\ge [/mm] 2 gilt max (1,  [mm] 2^{n-1})=2^{n-1} [/mm]
Also bleibt zz. $ [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] $  [mm] 2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n}) [/mm]

[mm] (X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV} [/mm]  max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y) [/mm]  =  [mm] 2^{n-2}(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm]

"Vorbemerkung:
$ [mm] 0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}), [/mm] $ da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind

$ [mm] \gdw 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n [/mm] $

$ [mm] \gdw xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm] $"

Dies nutzen wir um [mm] (X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm] abzuschätzen :

"$ [mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm] $"

und Somit gilt insgesamt:

[mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] ... [mm] \le 2^{n-2}X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le [/mm]
[mm] 2^{n-2}2(X^n+X^n) [/mm] = [mm] 2^{n-1}(X^n+X^n) [/mm]
Und damit gilt die Behauptung für alle n [mm] \in \IN. [/mm]


Ist das so korrekt?

Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Di 08.06.2021
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  vielen Dank erstmal.
>  
> Leider ist zu dem Zahlenbereich aus dem X und Y stammen
> keine Anmerkung vorhanden. Aber es macht ja nur dann Sinn,
> wenn X und Y [mm]\ge[/mm] 0 sind, oder?
>  Ich versuche es nochmal vollständig aufzuschreiben und
> hoffe, dass ihr es dann nochmal überprüfen könnt und es
> dann so korrekt wäre.
>  
> Zu Zeigen:
>  
> [mm](X+Y)^{n-1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})[/mm]
>  für
> X,Y [mm]\ge[/mm] 0.
>  
> (IA)
>  n=1
>  1= [mm]((X+Y)^{0} \le[/mm] max (1, [mm]2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})=[/mm] 2
>  n=2
>  [mm](X+Y)=(X+Y)^{1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y)[/mm]
>  
> (IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>  (IS) n [mm]\to[/mm]
> n+1 (zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n})[/mm]
>  
>
> Zwischenüberlegung:
>  
> Für [mm]n\ge[/mm] 2 gilt max (1,  [mm]2^{n-1})=2^{n-1}[/mm]
> Also bleibt zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm]  [mm]2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n})[/mm]
>
> [mm](X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV}[/mm]  max (1,
> [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y)[/mm]  =  [mm]2^{n-2}(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n})[/mm]
>
> "Vorbemerkung:
>  [mm]0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}),[/mm] da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind [notok]

Hier habe ich mich vertan. Wenn z.B. x=3 und y= -4 ist, ist die linke Klammer=-1 negativ, die rechte aber z.B. [mm] (x^4+y^4)=(3^4+(-4)^4)=81+256 [/mm] positiv.

Also müssen x und y beide [mm] \ge [/mm] 0 sein.


>  
> [mm]\gdw 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n[/mm]
>  
> [mm]\gdw xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm]"
>  
> Dies nutzen wir um [mm](X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n})[/mm]
> abzuschätzen :
>  
> "[mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm]"
>  
> und Somit gilt insgesamt:
>  
> [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] ... [mm]\le 2^{n-2}X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le[/mm]
> [mm]2^{n-2}2(X^n+X^n)[/mm] = [mm]2^{n-1}(X^n+X^n)[/mm]
> Und damit gilt die Behauptung für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
>
> Ist das so korrekt?
>  
> Vielen Dank und liebe Grüße
>  Karl13


Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Mi 09.06.2021
Autor: Karl13

Vielen Dank, ja mit dem x,y [mm] \ge [/mm] 0 war mir dann auch aufgefallen, deswegen hatte ich es oben noch vorausgesetzt.


Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

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